Juros Compostos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os Juros Compostos são calculados considerando a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).

Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).

Para compreender melhor, suponha uma aplicação de R$ 10.000,00 no regime de juros compostos, por 3 meses a taxa de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?

Mês	Juros	Valor
1	10% de 10.000 = 1000	10000 + 1000 = 11000
2	10% de 11.000 = 1100	11000 + 1100 = 12100
3	10% de 12.100 = 1210	12100 + 1210 = 13310

Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$ 13.310,00.

Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática financeira. São eles:

Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento.
Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.
Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano.
Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros.

Fórmula de juros compostos

Para calcular o montante (valor final) em regime de juros compostos, utiliza-se a expressão:

$começar estilo tamanho matemático 22px reto M igual a reto C espaço parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de reto t fim do estilo$

Onde,

M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período

Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.

Perceba que o montante é o capital mais os juros, assim, para calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 22px reto J igual a reto M menos reto C fim do estilo$

J: juros
M: montante
C: capital

Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos.

Exemplo 1
Se um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$ 800,00, qual será o valor da taxa mensal de juros?

Resolução
Sendo:

C = 500
M = 800
t = 4

Aplicando na fórmula, temos:

$começar estilo tamanho matemático 16px reto M igual a reto C espaço parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de reto t 800 igual a 500 parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de 4 800 sobre 500 igual a parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de 4 1 vírgula 6 igual a parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de 4 quarta raiz de 1 vírgula 6 fim da raiz igual a 1 mais reto i 1 vírgula 125 igual a 1 mais reto i 1 vírgula 125 espaço menos espaço 1 igual a reto i 0 vírgula 125 igual a reto i fim do estilo$

Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês.

Exemplo 2
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 5.000,00, à taxa de 1% ao mês?

Resolução:
Sendo:

C = 5000
i = 1% ao mês (0,01)
t = 1 semestre = 6 meses

Substituindo, temos:

$reto M espaço igual a espaço 5000 espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 0 vírgula 01 parêntese direito à potência de 6 espaço reto M espaço igual a espaço 5000 espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 01 parêntese direito à potência de 6 espaço reto M espaço igual a espaço 5000 espaço. espaço 1 vírgula 061520150601 espaço reto M espaço igual a espaço 5307 vírgula 60$

Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim:

$reto J igual a 5307 vírgula 60 menos 5000 igual a 307 vírgula 60$

O juro recebido será de R$ 307,60.

Exemplo 3
Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 20.000,00 gere o montante de R$ 2. 648,64, quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos?

Resolução
Sendo:

C = 20.000,00
M = 21.648,64
i = 2% ao mês (0,02)

Substituindo:

$reto M igual a reto C espaço parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito à potência de reto t 21 espaço 648 vírgula 64 igual a 20 espaço 000 parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t numerador 21 espaço 648 vírgula 64 sobre denominador 20 espaço 000 fim da fração igual a parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t 1 vírgula 082432 igual a parêntese esquerdo 1 mais 0 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t 1 vírgula 082432 igual a parêntese esquerdo 1 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t$

Este tipo de equação exige a aplicação de logaritmos para sua resolução.

Aplicando o logaritmo de base 10 a ambos os lados da igualdade:

$1 vírgula 082432 igual a parêntese esquerdo 1 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t log espaço 1 vírgula 082432 igual a log espaço parêntese esquerdo 1 vírgula 02 parêntese direito à potência de reto t log espaço 1 vírgula 082432 igual a reto t. espaço log espaço 1 vírgula 02 espaço espaço espaço 0 vírgula 0344 igual a reto t numerador 0 vírgula 0344 sobre denominador 0 vírgula 0086 fim da fração igual a reto t 4 igual a reto t$

O tempo deverá ser de 4 meses.

Para saber mais, veja também:

Dica de vídeo de juros compostos

Entenda melhor sobre o conceito de juros compostos no vídeo abaixo “Introdução aos Juros Compostos”:

Introdução aos juros compostos Ver no YouTube

Exercícios de juros compostos

Para compreender melhor a aplicação dos juros compostos, confira abaixo dois exercícios resolvidos, sendo um deles do Enem:

Exercício 1

Anita resolve aplicar R$ 300,00 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses.

Ver Resposta

Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos:

M_n= C (1+i)^t
M₃ = 300.(1+0,02)³
M₃ = 300.1,023
M₃ = 300.1,061208
M₃ = 318,3624

Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante acrescido por cada mês. Sendo assim:

1°mês: 300+0,02.300 = R$306
2°mês: 306+0,02.306 = R$312,12
3° mês: 312,12+0,02.312,12 = R$318,36

Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36.

Exercício 2

(Enem 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

n	1,03ⁿ
3	1,093
6	1,194
9	1,305
12	1,426

Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:

A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

Ver Resposta

Para encontrar a melhor forma de investimento, devemos calcular cada um dos investimentos no período de uma ano (12 meses):

Investimento A: 3% ao mês

1 ano = 12 meses

Rendimento de 12 meses = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (aproximação fornecida na tabela)

Logo, o investimento de 12 meses (1 ano) será de 42,6%.

Investimento B: 36% ao ano

Nesse caso, já está dada a resposta, ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 36%.

Investimento C: 18% ao semestre

1 ano = 2 semestres

Rendimento nos 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924

Ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 39,24%

Logo, ao analisarmos os valores obtidos concluímos que a pessoa deverá: “escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C”.

Alternativa C: escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

Juros simples

Os juros simples é outro conceito utilizado em matemática financeira aplicado sobre um valor. Diferente dos juros compostos, eles são constantes por período. Nesse caso, ao final de t períodos temos a fórmula:

$reto J igual a reto C espaço. espaço reto i espaço. espaço reto t$

Onde,

J: juros
C: capital aplicado
i: taxa de juros
t: períodos

No tocante ao montante, utiliza-se a expressão:

$reto M igual a reto C. parêntese esquerdo 1 mais reto i. reto t parêntese direito$

Aprenda mais sobrejuros simples.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.