Exercícios sobre produtos notáveis (comentados e resolvidos)

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem regras definidas. Como aparecem com frequência, a sua aplicação facilita a determinação dos resultados.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse conteúdo relacionado com as expressões algébricas.

Questão 1

Desenvolva a seguinte expressão:

parêntese esquerdo 2 reto a espaço mais espaço 3 reto b parêntese direito ao quadrado

Resposta: 4 reto a ao quadrado mais 12 ab mais 9 reto b ao quadrado

A expressão é um produto notável chamado quadrado da soma.

Para desenvolvê-lo utilizamos a regra:

quadrado do primeiro termo mais,
duas vezes o primeiro termo vezes o segundo mais,
o quadrado do segundo termo.

Desenvolvimento:

texto (2a + 3b) fim do texto ao quadrado texto = fim do texto abre parênteses 2 reto a fecha parênteses ao quadrado mais 2.2 reto a.3 reto b mais espaço abre parênteses 3 reto b fecha parênteses ao quadrado igual a negrito 4 negrito a à potência de negrito 2 negrito mais negrito 12 negrito ab negrito mais negrito 9 negrito b à potência de negrito 2

Questão 2

Desenvolva a seguinte expressão: parêntese esquerdo reto a espaço mais espaço 4 reto b parêntese direito ao cubo.

Resposta: reto a ao cubo espaço mais espaço 12 reto a ao quadrado reto b espaço mais espaço 48 ab ao quadrado espaço mais espaço 64 reto b ao cubo

A expressão é um cubo da soma. Para desenvolvê-la, utilizamos:

Cubo da primeira parcela mais,
três vezes o quadrado da primeira pela segunda mais,
três vezes a primeira vezes o quadrado da segunda mais,
o cubo da segunda parcela.

Desenvolvimento:

parêntese esquerdo reto a espaço mais espaço 4 reto b parêntese direito ao cubo igual a reto a ao cubo espaço mais espaço 3. reto a ao quadrado.4 reto b espaço mais espaço 3. reto a. parêntese esquerdo 4 reto b parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 reto b parêntese direito ao cubo espaço igual a reto a ao cubo espaço mais espaço 12 reto a ao quadrado reto b espaço mais espaço 3. reto a.16 reto b ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 reto b parêntese direito ao cubo igual a negrito a à potência de negrito 3 negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 12 negrito a à potência de negrito 2 negrito b negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 48 negrito ab à potência de negrito 2 negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 64 negrito b à potência de negrito 3

Questão 3

Desenvolva a seguinte expressão: 2 ao quadrado espaço menos espaço 3 ao quadrado igual a.

Resposta: -5

Esta expressão é um produto notável conhecido como diferença entre dois quadrados. Para desenvolvê-lo, utilizamos a seguinte regra:

O primeiro termo mais o segundo, multiplicado pela subtração entre o primeiro e o segundo.

Desenvolvimento:

2 ao quadrado espaço menos espaço 3 ao quadrado igual a parêntese esquerdo 2 espaço mais espaço 3 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço 3 parêntese direito igual a 5 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a negrito menos negrito 5

Questão 4

(Faetec - 2017) Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:

questão faetec 2017 produtos notáveis

Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2. Esse valor é:

a) 26
b) 28
c) 32
d) 36

Alternativa correta: b) 28.

Para encontrar o valor da expressão, vamos usar o quadrado da soma de dois termos, ou seja:

(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

Como queremos encontrar o valor a a2 + b2, isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

a2 + b2 = (a + b)2 - 2.a.b

Substituindo os valores dados:

a2 + b2 = 62 - 2.4
a2 + b2 = 36 - 8
a2 + b2 = 28

Portanto, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2, que é 28.

Questão 5

(UFRGS - 2016) Se x + y = 13 e x . y = 1, então x2 + y2 é

a) 166
b) 167
c) 168
d) 169
e) 170

Alternativa correta: b) 167.

Lembrando do desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, temos:

(x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2

Como queremos encontrar o valor a x2 + y2, isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

x2 + y2 = (x + y)2 - 2.x.y

Substituindo os valores dados:

x2 + y2 = 132 - 2.1
x2 + y2 = 169 - 2
x2 + y2 = 167

Portanto, x2 + y2 = 167.

Questão 6

(Aprendiz de Marinheiro - 2015) O produto abre parênteses raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fecha parênteses é igual a

a) 6
b) 1
c) 0
d) - 1
e) - 6

Alternativa correta: b) 1.

Para resolver esse produto, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, ou seja:

(a + b) . (a - b) = a2 - b2

Assim:

abre parênteses raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fecha parênteses igual a abre parênteses raiz quadrada de 3 fecha parênteses ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 2 fecha parênteses ao quadrado igual a 3 menos 2 igual a 1

Portanto, o produto é igual a 1.

Questão 7

(Cefet/MG - 2014) O valor numérico da expressão começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de 68 ao quadrado menos 32 ao quadrado fim da raiz fim do estiloestá compreendido no intervalo

a) [30,40[
b) [40,50[
c) [50,60[
d) [60,70[

Alternativa correta: d) [60, 70[

Como a operação entre os termos da radiciação é uma subtração, não podemos tirar os números de dentro do radical.

Devemos primeiro resolver a potenciação, depois subtrair e tirar a raiz do resultado. A questão é que calcular essas potências não é muito rápido.

Para facilitar os cálculos, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, assim temos:

raiz quadrada de abre parênteses 68 menos 32 fecha parênteses. abre parênteses 68 mais 32 fecha parênteses fim da raiz raiz quadrada de 36.100 fim da raiz raiz quadrada de 36. raiz quadrada de 100 6.10 espaço igual a espaço 60

Como é pedido em qual intervalo o número está compreendido, devemos notar que o 60 aparece em duas alternativas.

Entretanto, na alternativa c o colchete após o 60 está aberto, logo, esse número não pertence ao intervalo. Já na alternativa d o colchete está fechado e indica que o número pertence a esses intervalo.

Portanto, o valor está compreendido no intervalo [60, 70[.

Questão 8

(Cefet/RJ - 2016) Considere p e q números reais não nulos e não simétricos. A seguir são descritas seis afirmações envolvendo esses números e cada uma delas está associada a um valor informado entre parênteses.

reto I menos parêntese esquerdo reto p mais reto q parêntese direito ao quadrado igual a reto p ao quadrado mais reto q à potência de 2 espaço fim do exponencial espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 10 parêntese direito II menos cúbica raiz de reto p. reto q fim da raiz igual a cúbica raiz de reto p. cúbica raiz de reto q espaço fim da raiz espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 20 parêntese direito III menos raiz quadrada de reto p ao quadrado mais reto q ao quadrado fim da raiz igual a reto p mais reto q espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 30 parêntese direito IV menos numerador 1 mais reto p. reto q sobre denominador reto q fim da fração igual a 1 mais reto p espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 40 parêntese direito reto V menos numerador 1 sobre denominador reto p mais reto q fim da fração igual a 1 sobre reto p mais 1 sobre reto q espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 50 parêntese direito VI menos numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre reto p mais 1 sobre reto q fim do estilo fim da fração igual a numerador reto p. reto q sobre denominador reto p mais reto q fim da fração espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 60 parêntese direito espaço

A opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é:

a) 190
b) 110
c) 80
d) 20

Alternativa correta: c) 80.

I) Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos temos:

(p + q) 2 = p2 + 2.p.q + q2, portanto, a afirmação I é falsa

II) Pela propriedade da radiciação da multiplicação de raízes de mesmo índice, a afirmação é verdadeira.

III) Neste caso, como a operação entre os termos é uma soma, não podemos tirar da raiz. Primeiro, precisamos efetuar a potenciação, somar os resultados para depois tirar da raiz. Portanto, essa afirmação também é falsa.

IV) Como entre os termos temos uma soma, não podemos simplificar o q. Para poder fazer a simplificação, é necessário desmembrar a fração:

1 sobre q mais numerador p diagonal para cima risco q sobre denominador diagonal para cima risco q fim da fração igual a 1 sobre q mais p sobre q igual a numerador 1 mais p sobre denominador q fim da fração

Assim, essa alternativa é falsa.

V) Como temos uma soma entre os denominadores, não podemos separar as frações, tendo que resolver primeiro essa soma. Logo, esta afirmação também é falsa.

VI) Escrevendo as frações com um único denominador, temos:

numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre p mais 1 sobre q fim do estilo fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar numerador q mais p sobre denominador p. q fim da fração fim do estilo fim da fração

Como temos uma fração de fração, resolvemos repetindo a primeira, passado para multiplicação e invertendo a segunda fração, assim:

numerador p. q sobre denominador p mais q fim da fração, portanto, essa afirmação é verdadeira.

Somando as alternativas corretas, temos: 20 + 60 = 80

Portanto, a opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é c) 80.

Questão 9

(Cefet/MG - 2017) Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão

reto M espaço igual a espaço abre parênteses reto x raiz quadrada de reto y sobre reto x fim da raiz mais reto y raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço reto é espaço equivalente espaço reto a

a) √xy.
b) 2xy.
c) 4xy.
d) 2√xy.

Alternativa correta: c) 4xy.

Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos, temos:

reto M igual a abre parênteses reto x raiz quadrada de reto y sobre reto x fim da raiz mais reto y raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado reto M igual a abre parênteses reto x raiz quadrada de reto y sobre reto x fim da raiz fecha parênteses ao quadrado mais 2. reto x raiz quadrada de reto y sobre reto x fim da raiz. reto y raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz mais abre parênteses reto y raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado reto M igual a reto x ao quadrado. reto y sobre reto x mais 2. reto x. reto y raiz quadrada de numerador reto y espaço sobre denominador reto x espaço fim da fração. reto x sobre reto y fim da raiz mais reto y ao quadrado. reto x sobre reto y reto M igual a reto x riscado diagonal para cima sobre espaço em branco ao quadrado fim do riscado. numerador reto y sobre denominador diagonal para cima risco reto x fim da fração mais 2. reto x. reto y raiz quadrada de numerador diagonal para cima risco reto y espaço sobre denominador diagonal para cima risco reto x espaço fim da fração. numerador diagonal para cima risco reto x sobre denominador diagonal para cima risco reto y fim da fração fim da raiz mais reto y à potência de diagonal para cima risco 2 fim do exponencial. numerador diagonal para cima risco reto x sobre denominador diagonal para cima risco reto y fim da fração reto M igual a reto x. reto y mais 2 reto x. reto y mais reto x. reto y reto M igual a 4 xy

Portanto, se x e y são dois números reais positivos, então a expressão reto M igual a abre parênteses reto x raiz quadrada de reto y sobre reto x fim da raiz mais reto y raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado é equivalente a 4xy.

Questão 10

(EPCAR - 2016)

O valor da expressão abre parênteses numerador x à potência de menos 2 fim do exponencial menos y à potência de menos 2 fim do exponencial sobre denominador x à potência de menos 1 fim do exponencial mais y à potência de menos 1 fim do exponencial fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses , em que x e y ∈ R* e x ≠ y e x ≠ −y , é

a) −1
b) −2
c) 1
d) 2

Alternativa correta: a) - 1.

Vamos começar reescrevendo a expressão e transformando os termos com expoentes negativos em frações:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar 1 sobre x ao quadrado menos 1 sobre y ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre x mais 1 sobre y fim do estilo fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Agora vamos resolver as somas das frações, reduzindo a um mesmo denominador:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar numerador y ao quadrado menos x ao quadrado sobre denominador parêntese esquerdo x. y parêntese direito ao quadrado fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador y mais x sobre denominador x. y fim da fração fim do estilo fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Transformando a fração de fração em multiplicação:

abre parênteses numerador começar estilo mostrar y ao quadrado menos x ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar parêntese esquerdo x. y parêntese direito ao quadrado fim do estilo fim da fração. numerador x. y sobre denominador y mais x fim da fração fecha parênteses. abre parênteses numerador x ao quadrado y mais x y ao quadrado sobre denominador x ao quadrado menos y ao quadrado fim da fração fecha parênteses

Aplicando o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos e colocando em evidência os termos comuns:

numerador abre parênteses y mais x fecha parênteses. abre parênteses y menos x fecha parênteses sobre denominador abre parênteses x. y fecha parênteses ao quadrado fim da fração. numerador x. y sobre denominador y mais x fim da fração. numerador x. y. parêntese esquerdo x mais y parêntese direito sobre denominador abre parênteses x mais y fecha parênteses começar estilo mostrar. fim do estilo começar estilo mostrar abre parênteses x menos y fecha parênteses fim do estilo fim da fração

Podemos agora simplificar a expressão, "cortando" os termos semelhantes:

numerador abre parênteses riscado diagonal para cima sobre y mais x fim do riscado fecha parênteses. abre parênteses y menos x fecha parênteses sobre denominador riscado diagonal para cima sobre abre parênteses x. y fecha parênteses ao quadrado fim do riscado fim da fração. numerador riscado diagonal para cima sobre x. y fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre abre parênteses y mais x fecha parênteses fim do riscado fim da fração. numerador riscado diagonal para cima sobre x. y fim do riscado começar estilo mostrar abre parênteses riscado diagonal para cima sobre x mais y fim do riscado fecha parênteses fim do estilo sobre denominador abre parênteses riscado diagonal para cima sobre x mais y fim do riscado fecha parênteses começar estilo mostrar. fim do estilo começar estilo mostrar abre parênteses x menos y fecha parênteses fim do estilo fim da fração igual a numerador parêntese esquerdo y menos x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim da fração

Como (y - x) = - (x - y), podemos substituir esse fator na expressão acima. Assim:

numerador parêntese esquerdo y menos x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim da fração igual a numerador menos riscado diagonal para cima sobre parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre parêntese esquerdo x menos y parêntese direito fim do riscado fim da fração igual a menos 1

Portanto, o valor da expressão é - 1.

Outros exercícios para praticar:

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Veja também