Teorema de Laplace: aplicação e exemplo

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordemn, ou seja, de qualquer ordem.

Esse método é frequentemente utilizado em matrizes de ordem igual ou superior a 4, dado que, para matrizes de ordens menores, há outros métodos, por vezes mais rápidos.

Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749 –1827).

Passos do Teorema de Laplace

Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:

Selecionar uma fila qualquer (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos iguais a zero, por tornar os cálculos mais simples;
Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

Cálculo do cofator

O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:

_{$começar estilo tamanho matemático 20px reto A com ij subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de reto i mais reto j fim do exponencial. espaço reto D com ij subscrito fim do estilo$}

Onde

A_ij: cofator de um elemento a_ij
i: linha onde se encontra o elemento
j: coluna onde se encontra o elemento
D_ij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Exemplo de cálculo do cofator

Determine o cofator do elemento a_23,da matriz A indicada.

$A igual a espaço abre colchetes tabela linha com 2 1 2 linha com célula com menos 3 fim da célula 4 1 linha com 3 2 5 fim da tabela fecha colchetes$

Resolução

Para calcular o cofator do elemento a₂₃, comecemos calculando o determinante da matriz resultante da eliminação da linha 2 e da coluna 3.

$abre barra vertical riscado horizontal sobre tabela linha com 2 1 célula com vertical risco 2 fim da célula linha com célula com menos 3 fim da célula 4 célula com vertical risco 1 fim da célula linha com 3 2 célula com vertical risco 5 fim da célula fim da tabela fim do riscado fecha barra vertical$

Assim, calcularemos o determinante dessa matriz:

$reto D com 23 subscrito igual a abre barra vertical tabela linha com 2 1 linha com 3 2 fim da tabela fecha barra vertical reto D com 23 subscrito igual a 2 espaço. espaço 2 espaço menos 1 espaço. espaço 3 reto D com 23 subscrito igual a 4 menos 3 reto D com 23 subscrito igual a 1$

O cofator será encontrado substituindo o valor de D₂₃ na expressão, conforme indicado abaixo:

A_{23 =} (-1)²⁺³ . 1 = -1

O cofator A₂₃, do elemento a₂₃ da matriz dada, é igual a -1.

Agora que já sabemos determinar o cofator de um elemento de uma matriz, podemos então aplicar o teorema de Laplace para calcular o seu determinante.

Cálculo de determinante com o Teorema de Laplace

Encontre o determinante da matriz B, indicada abaixo.

$B igual a abre colchetes tabela linha com 4 5 célula com menos 3 fim da célula 0 linha com 2 célula com menos 1 fim da célula 3 1 linha com 1 célula com menos 3 fim da célula 2 1 linha com 0 2 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha colchetes$

Resolução

Selecionamos a linha 1, visto possuir um elemento igual a zero.

O determinante será encontrado fazendo:

$det espaço reto B espaço igual a espaço reto a com 11 subscrito. reto C com 11 subscrito espaço mais espaço reto a com 12 subscrito. reto C com 12 subscrito espaço mais espaço reto a com 13 subscrito. reto C com 13 subscrito espaço mais espaço reto a com 14 subscrito. reto C com 14 subscrito$

Onde,

$d e t espaço B$ é o determinante da matriz B;
$reto a com 11 espaço subscrito fim do subscrito vírgula espaço reto a com 12 subscrito espaço vírgula espaço reto a com 13 subscrito espaço vírgula espaço reto a com 14 subscrito$ são os elementos da linha 1 (4, 5, -3, 0);
$reto C com 11 subscrito vírgula espaço reto C com 12 subscrito vírgula espaço reto C com 13 subscrito vírgula espaço reto C com 14 subscrito$ são os correspondentes cofatores de cada elemento da linha 1.

A partir daqui, como zero multiplicado por qualquer número é zero, o cálculo fica mais simples, pois neste caso a₁₄ . A₁₄ não precisa ser calculado.

Vamos então calcular cada cofator:

$C com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com célula com menos 1 fim da célula 3 1 linha com célula com menos 3 fim da célula 2 1 linha com 2 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1.41 igual a 41$

$C com 12 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 2 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 2 3 1 linha com 1 2 1 linha com 0 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a menos 1.7 igual a menos 7$

$C com 13 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 3 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 2 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 1 célula com menos 3 fim da célula 1 linha com 0 2 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1. parêntese esquerdo menos 27 parêntese direito igual a menos 27$

Note que para determinar o cofator é necessário calcular o determinante de cada matriz de ordem 3 indicada acima. Para esse tipo de matriz, é mais prático aplicar a regra de Sarrus.

Relembre a Regra de Sarrus.

Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante, temos:

$det espaço reto B igual a 4.41 espaço mais espaço 5. parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 27 parêntese direito espaço det espaço reto B igual a 164 espaço menos espaço 35 espaço mais espaço 81 det espaço reto B igual a 210$

Chegamos ao resultado 210, sendo o determinante da matriz $reto B com 4 reto x 4 subscrito fim do subscrito espaço$ ou, matriz de 4.ª ordem.

Exercício sobre Teorema de Laplace

Utilizando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz 5x5 indicada abaixo.

$abre colchetes tabela linha com 1 2 3 célula com menos 3 fim da célula 1 linha com 0 4 0 0 0 linha com 0 1 0 1 1 linha com 0 célula com menos 6 fim da célula 6 1 3 linha com 0 2 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Ver Resposta

Resposta: det = -48.

Resolução

Na primeira coluna da matriz, quase todos os elementos são iguais a zero. Para facilitar, vamos escolher essa coluna.

O determinante será encontrado fazendo-se:

det = 1 . A₁₁ + 0 . A₂₁ + 0 . A₃₁ + 0 . A₄₁ + 0 . A₅₁

O único cofator para calcular é o A₁₁, pois os demais serão multiplicados por zero. O valor de A₁₁ será encontrado fazendo:

$C com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 4 0 0 0 linha com 1 0 1 1 linha com célula com menos 6 fim da célula 6 1 3 linha com 2 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical$

Como deveremos calcular o determinante de uma matriz de ordem 4, vamos utilizar novamente o teorema de Laplace. Para este cálculo, escolhemos a primeira linha, pois esta apresenta apenas um valor diferente de zero.

det´= 4 . A´₁₁ + 0. A'₁₂ + 0 . A'₁₃ + 0 . A'₁₄

Para calcular o determinante det', precisamos apenas encontrar o valor de C'₁₁, pois os demais cofatores estão multiplicados por zero.

$C apóstrofo com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 0 1 1 linha com 6 1 3 linha com 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a menos 12$

Desta forma det' será igual a:

det' = 4 . (-12) = - 48

Podemos então calcular o determinante procurado, substituindo esse valor na expressão do A₁₁:

C₁₁= 1. (-48) = - 48

Assim, o determinante será dado por:

det = 1. C₁₁ = - 48

Portanto, o determinante da matriz de ordem 5, é igual a - 48.

Para saber mais, veja também:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.