Matriz Identidade

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A matriz identidade ou matriz unidade é uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a zero. Ela é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Como na multiplicação de números reais, onde o 1 é o elemento neutro da multiplicação, as matrizes identidades não alteram a matriz por ela multiplicada.

A diagonal principal é formada pelos elementos com os índices de linha e coluna iguais: $reto a com 11 subscrito espaço vírgula espaço reto a com 22 subscrito vírgula espaço reto a com 33 subscrito espaço...$ . Todo elemento que não faça parte desta diagonal assume valor 0.

Essas matrizes podem assumir qualquer ordem (dimensão), sempre quadradas, ou seja, o número de linhas igual ao de colunas. É indicada por $começar estilo tamanho matemático 18px reto I com reto n subscrito fim do estilo$ onde n representa sua ordem.

$começar estilo tamanho matemático 20px reto I com reto n subscrito igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 0 blank 0 linha com 0 1 0 blank 0 linha com 0 0 1 blank 0 linha com blank blank blank reticências diagonais para baixo 0 linha com 0 0 0 0 reto n fim da tabela fecha colchetes fim do estilo$

Seja A uma matriz identidade de ordem n, A é a matriz identidade de ordem n (I_n).

Exemplo de matriz identidade de ordem 2:

$começar estilo tamanho matemático 20px reto I com 2 subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes fim do estilo$

Exemplo de matriz identidade de ordem 3:

$começar estilo tamanho matemático 20px reto I com 3 subscrito igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 0 linha com 0 1 0 linha com 0 0 1 fim da tabela fecha colchetes fim do estilo$

Propriedades da matriz identidade

A matriz identidade é indicado por I_n, onde o n corresponde a ordem da matriz. Assim, se ela tiver três linhas e três colunas ela é chamada de matriz identidade de ordem 3.
$reto A espaço. espaço reto I com reto n subscrito igual a espaço reto I com reto n subscrito. espaço reto A espaço igual a espaço reto A$ : essa propriedade envolve a multiplicação de matrizes, onde A é quadrada de ordem n. Isso significa que a matriz identidade é neutra, ou seja, qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade terá como resultado a própria matriz.

Exercício sobre matriz identidade resolvido

(UFU-MG) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 2, tais que A . B = I, em que l é a matriz identidade.

A matriz X tal que A . X . A = C é igual a:

a) B . C . B
b) (A²) ^-1 . C
c) C . (A^-1)²
d) A . C . B

Ver Resposta

Resposta correta: a) B . C . B

Substituindo X por B . C . B, temos:

$A espaço. espaço X espaço. espaço A espaço igual a A. espaço B espaço. espaço C espaço. espaço B espaço. espaço A$

O enunciado fornece que A . B = I, onde I é a matriz identidade.

Como a propriedade comutativa é válida: A . B = B . A = I. Substituindo no cálculo anterior:

$A. espaço B espaço. espaço C espaço. espaço B espaço. espaço A espaço igual a espaço I espaço. espaço C espaço. espaço I espaço igual a espaço$

Como I é o elemento neutro no produto de matrizes:

$I espaço. espaço C espaço. espaço I espaço igual a espaço C$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.