Dízima Periódica

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

As dízimas periódicas são números decimais periódicos, ou seja, apresentam um ou mais algarismos que se repetem na mesma ordem infinitamente. Os algarismos que se repetem são chamados de período.

Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais () por poderem ser escritos na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444… também pode ser escrito como .

Outra forma de representar as dízimas é utilizando um travessão acima do período, por exemplo, o número 0,444 ... pode ser escrito como .

Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta algarismos que se repetem periodicamente, ele não será uma dízima periódica e sim um número irracional.

Dízimas periódicas simples e compostas

As dízimas periódicas são chamadas de simples quando apresentam a parte inteira e após a vírgula apenas algarismos que se repetem.

São exemplos de dízimas periódicas simples:

• 0,34343434… → parte inteira igual a 0 e período igual a 34;
• 1,222222… → parte inteira igual a 1 e período igual a 2;
• 234,193193193… → parte inteira igual a 234 e período igual a 193;

Já as dízimas periódicas compostas possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos que não se repetem, além dos algarismos que se repetem.

São exemplos de dízimas compostas:

• 3,125555… → parte inteira igual a 3, parte não periódica igual a 12 e período igual a 5.
• 1,7863333… → parte inteira igual a 1, parte não periódica igual a 786 e período igual a 3.
• 11,2350505050… → parte inteira igual a 11, parte não periódica igual a 23 e período igual a 50.

Representação das dízimas periódicas

As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal.

Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem infinitamente ou com o travessão acima do período.

Exemplos:

Você pode se interessar por aprender mais sobre fração geratriz.

Fração geratriz

A fração geratriz é a fração que gera uma dízima ao dividir o numerador pelo denominador.

Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz de uma dízima podemos aplicar um método prático.

Se o número for uma dízima simples, o numerador será formado pelos algarismos da parte inteira seguidos do período, menos a parte inteira, sem a vírgula. Já no denominador, utilizamos apenas algarismos "9".

A quantidade de "9" dependerá do número de algarismos que compõem o período da dízima. Por exemplo, na dízima 3,1717…, o período possui 2 algarismos (17), então o denominador será 99.

No caso de uma dízima composta, o numerador é obtido subtraindo o número formado pela parte inteira, os algarismos não repetidos e o período (sem a vírgula), pelo número formado pela parte inteira e pelos algarismos que não se repetem, também sem a vírgula.

No denominador, também colocamos tantos noves quanto forem os algarismos do período, entretanto, temos que adicionar zeros conforme o número de algarismos que não se repetem na parte decimal.

Exemplos:

Encontre a fração geratriz das dízimas indicadas abaixo:

a) 4,5555…
b) 7,38282…

Resolução

a) O número 4,555… é uma dízima periódica simples. Neste caso, no denominador teremos apenas um algarismo nove, pois o seu período apresenta um único algarismo (5). Assim, fração será igual a:

b) Como 7,38282… é uma dízima periódica composta, teremos no denominador o número 990, pois o período é formado por 2 algarismos (82) e temos apenas 1 algarismo que não se repete na parte decimal (3).

Veja mais sobre números racionais.

Vídeo: 0,999999999… É Igual a Um

Existem várias maneiras de representar um mesmo número. Podemos, por exemplo, escrever o número 1 como 0,9999…

Você acredita que esses dois números são realmente iguais? Não? Então assista ao vídeo e tire suas próprias conclusões.

Exercícios sobre dízimas periódicas

Exercício 1

(Enem PPL — 2014) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212...

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

a) 103 em cada 330.
b) 104 em cada 333.
c) 104 em cada 3 333.
d) 139 em cada 330.
e) 1 039 em cada 3 330.

Exercício 2

(PUC/RJ - 2003) A soma 1,3333... + 0,16666... é igual a:

Para saber mais, veja também:

• Frações
• Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica
• Frações Equivalentes
• Adição e Subtração de Frações
• Números Decimais
• Números Irracionais
• Conjuntos Numéricos

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.