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Equação de Torricelli

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A equação de Torricelli é utilizada na física, mais precisamente no movimento uniformemente variado (MUV). Ela é utilizada para calcular a velocidade de um corpo em relação ao espaço que ele percorre.

Com o uso da equação, ou fórmula de Torricelli, é possível determinar a velocidade sem conhecer o tempo, bastando a velocidade inicial, a aceleração e o espaço percorrido pelo móvel.

Fórmula de Torricelli

$começar estilo tamanho matemático 18px reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2. reto a. Δs fim do estilo$

Onde,
v: velocidade final (m/s)
v₀: velocidade inicial (m/s)
a: aceleração (m/s²)
Δs: espaço percorrido pelo corpo (m)

A equação de Torricelli é muito útil em situações que não temos a informação do tempo, e não é o valor que estamos procurando.

Exemplo
Um móvel percorre uma trajetória com aceleração constante de 1 m/s² a partir do repouso. Determine sua velocidade após percorrer 8 m.

Dados
Velocidade inicial $V com 0 subscrito igual a 0$ (partindo do repouso)
Aceleração constante de 1 m/s². (MUV)
Distância percorrida $incremento S igual a 8 espaço m$ .

Aplicando os valores na equação.

$começar estilo tamanho matemático 16px reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2. reto a. Δs reto v ao quadrado igual a 0 ao quadrado mais 2.1.8 reto v ao quadrado igual a 0 mais 16 reto v igual a raiz quadrada de 16 v igual a 4 espaço m dividido por s fim do estilo$

Quem foi Torricelli?

Evangelista Torricelli nasceu na província italiana de Faenza, no dia 15 de outubro de 1608.

Discípulo de Galileu Galilei, Torricelli foi professor, físico e matemático. Ficou também conhecido por seus trabalhos na área da óptica e da cinemática.

Foi inventor do barômetro, instrumento que mede pressão atmosférica, e da famosa “Equação de Torricelli”.

Faleceu em Florença, dia 25 de outubro de 1647, vítima de febre tifoide.

Dedução da equação de Torricelli

Para chegar a essa equação, partimos das duas equações do movimento uniformemente variado, ou seja:

$s igual a s com 0 subscrito mais v com 0 subscrito t mais 1 meio a t ao quadrado espaço$

$espaço v igual a v com 0 subscrito mais a t$

Começaremos isolando o t na segunda equação, assim:

$t igual a numerador v menos v com 0 subscrito sobre denominador a fim da fração$

Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:

$s igual a s com 0 subscrito mais v com 0 subscrito espaço numerador parêntese esquerdo v menos v com 0 subscrito parêntese direito sobre denominador a fim da fração mais 1 meio a. abre parênteses numerador v menos v com 0 subscrito sobre denominador a fim da fração fecha parênteses ao quadrado s menos s com 0 subscrito igual a numerador v com 0 subscrito v menos v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador a fim da fração mais numerador diagonal para cima risco a parêntese esquerdo v ao quadrado menos 2 v v com 0 subscrito mais v com 0 subscrito ao quadrado parêntese direito sobre denominador 2 riscado diagonal para cima sobre a ao quadrado fim do riscado fim da fração$

Reduzimos a expressão a um mesmo denominador.

$2 a incremento s igual a riscado diagonal para cima sobre 2 v com 0 subscrito v fim do riscado menos 2 v com 0 subscrito ao quadrado mais v ao quadrado riscado diagonal para cima sobre menos 2 v v com 0 subscrito fim do riscado mais v com 0 subscrito ao quadrado$

Chegamos, então a equação de Torricelli.

$bold italic v à potência de negrito 2 negrito igual a negrito v com negrito 0 subscrito à potência de negrito 2 negrito mais negrito 2 bold italic a negrito incremento bold italic s$

Exercícios de Equação de Torricelli com Gabarito

Exercício 1

(UEPI) Um corpo é abandonado de uma altura de 20 m num local onde a aceleração da gravidade da Terra é dada por g = 10 m/s². Desprezando o atrito, o corpo toca o solo com velocidade:

a) igual a 20 m/s
b) nula
c) igual a 10 m/s
d) igual a 20 km/h
e) igual a 15 m/s

Ver Resposta

Resposta correta: a) igual a 20 m/s

Dados
Corpo abandonado (velocidade inicial igual a zero).
Altura de 20m
Aceleração da gravidade g = 10 m/s2

Como é um movimento com aceleração constante, trata-se de um movimento uniformemente variado (MUV).

Objetivo
Determinar a velocidade com que o corpo toca o solo.

Resolução
Como não há informação do tempo, utilizamos a equação de Torricelli.

$reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s$

Substituindo os dados na equação:

$reto v ao quadrado igual a 0 ao quadrado mais 2.10.20 reto v ao quadrado igual a 400 reto v igual a raiz quadrada de 400 reto v igual a 20 espaço reto m dividido por reto s$

Conclusão
A velocidade com que o corpo chega ao solo é de 20 m/s.

Exercício 2

(Uneb-BA) Uma partícula, inicialmente a 2 m/s, é acelerada uniformemente e, após percorrer 8 m, alcança a velocidade de 6 m/s. Nessas condições, sua aceleração, em metros por segundo ao quadrado, é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Ver Resposta

Resposta correta: b) 2

Dados
Velocidade inicial de 2 m/s.
Acelerada uniformemente. (Trata-se trata-se de um movimento uniformemente variado MUV).
Percorre 8 m.
Velocidade final de 6 m/s.

Objetivo
Determinar a aceleração.

Resolução

Como não há informação do tempo, utilizamos a equação de Torricelli.

$reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s$

Isolando a na equação:

$reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado igual a 2 reto a incremento reto s numerador reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2 incremento reto s fim da fração igual a reto a$

Substituindo os dados na equação:

$numerador 6 ao quadrado menos 2 ao quadrado sobre denominador 2.8 fim da fração igual a reto a numerador 36 menos 4 sobre denominador 16 fim da fração igual a reto a 32 sobre 16 igual a reto a 2 igual a reto a$

Conclusão
A aceleração é de 2 m/s².

Exercício 3

(Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 20 m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo completamente da mesma 10s após, com velocidade escalar de 10 m/s. O comprimento da ponte é:

a) 150 m
b) 120 m
c) 90 m
d) 60 m
e) 30 m

Ver Resposta

Resposta correta: e) 30 m

Dados
Comprimento do trem 120 m.
Velocidade inicial de 20 m/s.
Velocidade final de 10 m/s.
Tempo para atravessar a ponte de 10s.

Objetivo
Determinar o comprimento da ponte.

Resolução
Como ocorre mudança de velocidade existe aceleração, no caso, uma desaceleração uniforme. Por isso, trata-se de movimento uniformemente variado (MUV).

A aceleração é a variação da velocidade em um intervalo de tempo.

$a igual a numerador V espaço menos espaço V com 0 subscrito sobre denominador t fim da fração igual a numerador 10 espaço menos espaço 20 sobre denominador 10 fim da fração espaço igual a numerador menos 10 sobre denominador 10 fim da fração igual a menos 1 espaço m dividido por s ao quadrado$

Utilizamos a equação de Torricelli para determinar o espaço percorrido.

$reto v ao quadrado igual a reto v com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto s$

Isolando $incremento reto s$ na equação:

$numerador reto v ao quadrado menos reto v com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2 reto a fim da fração igual a incremento reto s numerador 10 ao quadrado menos 20 ao quadrado sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a incremento reto s numerador 100 menos 400 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a incremento reto s numerador menos 300 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a incremento reto s 150 igual a incremento reto s$

A distância total percorrida foi de 150m. No entanto, queremos o comprimento a ponte.

A distância total é o comprimento da ponte mais o comprimento do trem.

distância total = comprimento da ponte + comprimento do trem

Substituindo os valores

150 = comprimento da ponte + 120
150 - 120 = comprimento da ponte
30 = comprimento da ponte

Conclusão
A ponte possui 30 m de comprimento.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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