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Exercícios sobre a gravitação universal (com questões resolvidas)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Teste seus conhecimentos sobre gravitação universal, a força de atração entre todos os corpos com massa, descrita por Isaac Newton no século XVII. Pratique com exercícios resolvidos!

Questão 1

Uma equipe de astronautas pousa em um planeta desconhecido e decide realizar um experimento para determinar a massa desse novo mundo. Eles soltam uma pequena esfera de uma altura de 2 metros e cronometram o tempo de queda, obtendo um valor de 1,5 segundos. Sabendo que a constante gravitacional universal é G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² e que o raio do planeta é de 5 000 000 metros, qual a massa aproximada do planeta?

a) 6,67 x 10²³ kg

b) 8 x 10²⁴ kg

c) 12 x 10²⁴ kg

d) 16 x 10²⁴ kg

e) 20 x 10²⁴ kg

Gabarito explicado

1. Calcular a aceleração da gravidade no planeta:

Usando a equação da queda livre:

reto h igual a numerador reto g espaço. espaço reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração

Onde:

  • h = altura (2 m)
  • g = aceleração da gravidade
  • t = tempo (1,5 s)

Isolando g, temos:

reto g igual a numerador 2 espaço. espaço reto h sobre denominador reto t ao quadrado fim da fraçãoreto g igual a numerador 2 espaço. espaço 2 sobre denominador 1 vírgula 5 ao quadrado fim da fraçãoreto g aproximadamente igual 1 vírgula 78 espaço reto m dividido por reto s ao quadrado

2. Utilizar a Lei da Gravitação Universal:

reto F igual a reto G numerador parêntese esquerdo reto m com 1 subscrito espaço. espaço espaço reto m com 2 subscrito parêntese direito sobre denominador reto r ² fim da fração

Como a força gravitacional é igual ao peso (P = m . g), podemos escrever:

reto m espaço. espaço reto g igual a reto G numerador parêntese esquerdo reto m espaço. espaço espaço reto M parêntese direito sobre denominador reto r ² fim da fração

Onde:

  • m = massa do objeto (pode ser simplificada)
  • M = massa do planeta
  • r = raio do planeta

Simplificando a equação, obtemos:

reto g igual a reto G numerador reto M sobre denominador reto r ² fim da fração

Isolando M:

reto M igual a numerador reto g espaço. espaço reto r ao quadrado sobre denominador reto G fim da fração

3. Substituir os valores e calcular a massa do planeta:

reto M igual a numerador reto g espaço. espaço reto r ao quadrado sobre denominador reto G fim da fraçãoreto M igual a numerador 1 vírgula 78 espaço. espaço 5 espaço 000 espaço 000 ao quadrado sobre denominador 6 vírgula 67 espaço x espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial fim da fraçãoreto M igual a numerador 1 vírgula 78 espaço. espaço abre parênteses 5 espaço. espaço 10 à potência de 6 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 6 vírgula 67 espaço x espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial fim da fraçãoreto M igual a numerador 1 vírgula 78 espaço. espaço 25 espaço. espaço 10 à potência de 12 sobre denominador 6 vírgula 67 espaço. espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial fim da fraçãoreto M igual a numerador 44 vírgula 5 espaço. espaço 10 à potência de 12 sobre denominador 6 vírgula 67 espaço. espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial fim da fraçãoreto M igual a 6 vírgula 67 espaço. espaço 10 à potência de 12 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 11 parêntese direito fim do exponencialreto M igual a 6 vírgula 67 espaço. espaço 10 à potência de 23 espaço kg

Conclusão:

A equipe de astronautas encontrou que a massa deste planeta é de 6 vírgula 67 espaço. espaço 10 à potência de 23 espaço kg.

Questão 2

Aplicando a Lei da Gravitação Universal, calcule a força de atração entre dois corpos de massas 500 kg e 1000 kg, respectivamente, separados por uma distância de 10 metros. Considere a constante gravitacional universal como sendo 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

a) 3 vírgula 34 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁻ ⁸ espaço N

b) 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁻ ¹ ⁰ espaço N

c) 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁻ ⁹ espaço N

d) 3 vírgula 33 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de menos 7 fim do exponencial espaço reto N

e) 4 vírgula 33 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁻ ⁹ espaço N

Gabarito explicado

Utilizando a equação da Lei da gravitação universal e substituindo os valores:

reto F igual a reto G numerador parêntese esquerdo reto m com 1 subscrito espaço. espaço espaço reto m com 2 subscrito parêntese direito sobre denominador reto r ² fim da fraçãoreto F igual a 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial espaço. espaço numerador parêntese esquerdo 500 espaço. espaço espaço 1000 parêntese direito sobre denominador 10 ² fim da fraçãoreto F igual a 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial espaço. espaço numerador 500 espaço 000 sobre denominador 100 fim da fraçãoreto F igual a 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial espaço. espaço 5000reto F igual a 33 espaço 350 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de menos 11 fim do exponencial espaço reto Nnegrito F negrito espaço negrito igual a negrito 3 negrito vírgula negrito 335 negrito espaço negrito sinal de multiplicação negrito espaço negrito 10 à potência de negrito menos negrito 7 fim do exponencial negrito espaço negrito N

A opção correta é a letra d).

Questão 3

Dois satélites artificiais estão orbitando a Terra em órbitas diferentes. O satélite A tem massa de 2000 kg e está a uma distância de 8,0 × 10⁶ m do centro da Terra. O satélite B tem massa de 1000 kg e está a uma distância de 6,4 × 10⁶ m do centro da Terra. A massa da Terra é 5,98 × 10²⁴ kg e a constante gravitacional é 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

Qual é a razão entre as forças gravitacionais que a Terra exerce sobre os dois satélites, FA/FB?

a) 0,64

b) 0,25

c) 2,5

d) 1,28

e) 4,0

Gabarito explicado

1. Escrevemos a razão FA/FB:

numerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a numerador reto G vezes numerador reto m com reto A subscrito vezes reto m com T e r r a subscrito fim do subscrito sobre denominador reto r com reto A subscrito ao quadrado fim da fração sobre denominador reto G vezes numerador reto m com B subscrito vezes reto m com Terra subscrito sobre denominador reto r com reto B subscrito ao quadrado fim da fração fim da fração

Como se trata de uma divisão, podemos cancelar a constante G e a massa da Terra.

numerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a numerador reto m com reto A subscrito sobre reto r com reto A subscrito ao quadrado sobre denominador reto m com B subscrito sobre reto r com reto B subscrito ao quadrado fim da fraçãonumerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a reto m com reto A subscrito sobre reto r com reto A subscrito ao quadrado espaço. espaço reto r com reto B subscrito ao quadrado sobre reto m com B subscrito

2. Substituindo as valores fornecidos e calculando.

numerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a reto m com reto A subscrito sobre reto r com reto A subscrito ao quadrado espaço. espaço reto r com reto B subscrito ao quadrado sobre reto m com B subscritonumerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a 2000 sobre parêntese esquerdo 8 vírgula 0 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁶ parêntese direito ao quadrado espaço. espaço numerador parêntese esquerdo 6 vírgula 4 espaço sinal de multiplicação espaço 10 ⁶ parêntese direito ao quadrado sobre denominador 1000 fim da fraçãonumerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a numerador 2 espaço. espaço 40 vírgula 96 espaço. espaço 10 à potência de 12 espaço sobre denominador 64 espaço. espaço 10 à potência de 12 fim da fraçãonumerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a numerador 81 vírgula 92. espaço 10 à potência de 12 espaço sobre denominador 64 espaço. espaço 10 à potência de 12 fim da fraçãonumerador F A sobre denominador F B fim da fração igual a 1 vírgula 28

Questão 4

Leia as afirmações abaixo sobre a gravitação universal. Assinale V para verdadeiro e F para falso.

  1. A força gravitacional entre dois corpos aumenta à medida que a distância entre eles diminui.
  2. A constante gravitacional G varia dependendo das massas dos corpos envolvidos na interação.
  3. A gravitação universal é uma força de atração que age entre todos os corpos com massa, independentemente de sua localização no universo.
  4. Se a distância entre dois corpos for duplicada, a força gravitacional entre eles será reduzida a um quarto de seu valor original.
  5. A fórmula da força gravitacional, reto F igual a reto G vezes numerador reto m com 1 subscrito vezes reto m com 2 subscrito sobre denominador reto r ao quadrado fim da fração, indica que a força gravitacional é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos.

a) V V V V F

b) V F V V F

c) V F V F F

d) V F F F F

e) V V V F F

Gabarito explicado
  1. V - A força gravitacional diminui com o quadrado da distância, logo, se a distância diminui, a força aumenta.
  2. F - A constante gravitacional G é uma constante universal e não depende das massas dos corpos ou da distância entre eles.
  3. V - A gravitação universal é válida para todos os corpos com massa, independentemente de sua posição no espaço.
  4. V - A força gravitacional diminui com o quadrado da distância. Se a distância é duplicada, a força é reduzida a um quarto do valor inicial.
  5. F - A fórmula mostra que a força gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos, não diretamente proporcional.

Sendo assim, a opção correta é a b) V F V V F.

Questão 5

(UEA 2018) A lei da gravitação universal de Newton afirma que a intensidade da força de atração gravitacional entre duas massas m1 e m2 é diretamente proporcional ao produto dessas duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância (r) entre elas. Essa relação pode ser expressa analiticamente pela expressão

reto F igual a reto G vezes numerador reto m com 1 subscrito vezes reto m com 2 subscrito sobre denominador reto r ao quadrado fim da fração

em que a constante universal da gravitação (G) assume, no Sistema Internacional de Unidades (SI), o valor 6 vírgula 67 espaço sinal de multiplicação espaço 10 à potência de – 11 fim do exponencial. A unidade de medida dessa constante, em função das unidades fundamentais do SI, é

a) kg ao quadrado. espaço reto m à potência de menos 3 fim do exponencial. espaço reto s à potência de menos 1 fim do exponencial espaço

b) kg à potência de menos 1 fim do exponencial. espaço reto m ao cubo. espaço reto s à potência de menos 2 fim do exponencial espaço

c) kg à potência de menos 2 fim do exponencial. espaço reto m à potência de menos 1 fim do exponencial. espaço reto s à potência de menos 2 fim do exponencial espaço

d) kg à potência de menos 1 fim do exponencial. espaço reto m à potência de menos 2 fim do exponencial. espaço reto s à potência de menos 2 fim do exponencial espaço

e) kg à potência de menos 1 fim do exponencial. espaço reto m ao quadrado. espaço reto s à potência de menos 3 fim do exponencial espaço

Gabarito explicado

Podemos determinar a unidade de medida de G utilizando a própria equação, onde no lugar das variáveis colocamos as respectivas unidades de medida.

A partir, isolamos G e determinamos sua unidade de medida.

reto F igual a reto G vezes numerador reto m com 1 subscrito vezes reto m com 2 subscrito sobre denominador reto r ao quadrado fim da fraçãoreto N igual a reto G vezes numerador kg vezes kg sobre denominador reto m ao quadrado fim da fração espaço negrito parêntese esquerdo negrito equação negrito espaço negrito I negrito parêntese direito

Neste ponto, “abrimos” a unidade de forma (N). Pela segunda lei de Newton:

reto F igual a reto m espaço. espaço reto a

Em termos de unidades:

reto N espaço igual a espaço kg espaço. espaço reto m sobre reto s ao quadrado

Substituindo N na equação I, temos:

espaço kg espaço. espaço reto m sobre reto s ao quadrado igual a reto G vezes numerador kg vezes kg sobre denominador reto m ao quadrado fim da fração

Isolando G:

reto G igual a numerador kg espaço. espaço reto m espaço. espaço reto m ao quadrado sobre denominador reto s ao quadrado espaço. espaço kg espaço. espaço kg fim da fraçãoreto G igual a numerador reto m ao cubo sobre denominador reto s ao quadrado espaço. espaço kg fim da fração

Para escrever a resposta no padrão das respostas da questão, devemos "subir" as unidades do denominador. Para isso, escrevemos com o expoente (-1).

reto G igual a kg à potência de menos 1 fim do exponencial. espaço reto m ao cubo. espaço reto s à potência de menos 2 fim do exponencial espaço

Logo, a opção correta é a b.

Questão 6

(URCA/2022.2) Marque a opção que está em desacordo com conceitos da gravitação universal (não relativística) e seus aspectos históricos:

a) A primeira Lei de Kepler afirma que qualquer planeta gira em torno do Sol e descreve uma órbita elíptica em que o Sol ocupa um dos focos desta elipse.

b) Nicolau Copérnico no século XVI defendeu a teoria heliocêntrica em que o Sol estaria em repouso e os planetas girariam em torno dele em órbitas circulares.

c) expressão matemática da força de atração entre o Sol e um planeta afirma que esta força é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

d) A massa gravitacional M de um planeta esférico pode ser encontrada usando a expressão g = GM/R² em que R é o raio do planeta, g é o campo gravitacional em sua superfície e G a constante de gravitação universal.

e) A terceira Lei de Kepler afirma que os períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos quadrados dos raios médios de suas órbitas.

Gabarito explicado

A alternativa e está em desacordo com os conceitos da gravitação universal (não relativística) e os aspectos históricos.

A terceira Lei de Kepler, na realidade, afirma que os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios médios de suas órbitas. A formulação correta é:

reto T ao quadrado proporcional reto a ao cubo

Onde:

T é o período orbital do planeta.

a é o raio médio da órbita (semi-eixo maior da elipse).

Assim, a alternativa correta é a letra e.

Questão 7

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Referências Bibliográficas

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentals of Physics. 10ª ed. Hoboken: Wiley, 2013.

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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