Exercícios sobre cônicas (com gabarito explicado)

Análise das afirmações:

a) Falso. O eixo maior pode ser horizontal ou vertical, dependendo da posição dos focos.
b) Falso. Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, mas não coincidem com os vértices.
c) Verdadeiro. Essa é a propriedade fundamental da elipse: a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é sempre constante e igual ao comprimento do eixo maior.
d) Falso. A excentricidade de uma elipse é um número entre 0 e 1.
e) Falso. Uma elipse possui exatamente dois focos.

Análise das afirmações:
a) Falso. Essa propriedade é exclusiva da elipse.
b) Falso. A excentricidade de uma hipérbole é sempre maior que 1.
c) Falso. O eixo que contém os vértices é chamado de eixo real, não "eixo maior".
d) Verdadeiro. Essa é a propriedade fundamental da hipérbole: a diferença das distâncias de qualquer ponto da hipérbole até seus focos é sempre constante.
e) Falso. A hipérbole possui dois eixos de simetria (eixo real e eixo imaginário).

Análise das alternativas:
a) Falso. Essa propriedade é característica da elipse. A parábola possui 1 foco.
b) Falso. A parábola possui apenas um eixo de simetria.
c) Verdadeiro. Essa é a definição fundamental de parábola: o conjunto dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.
d) Falso. A parábola possui vértice, foco e diretriz.
e) Falso. A excentricidade da parábola é exatamente 1.

Posição da parábola:

• O foco e o vértice têm mesma abscissa (x=3), indicando que a parábola é vertical, paralela ao eixo y.
• Como o foco está acima do vértice (y=6), a parábola abre para cima.

Cálculo de p (distância entre a reta diretriz e o foco).

p = 6 - 2 = 4

Para parábolas verticais com concavidade para cima a equação reduzida é:

Substituindo V (3, 4) e p = 4:

Dados:

• C(2,3)
• A2(5,3)
• F2(6,3)

Observações:

O centro, vértice e foco possuem a mesma ordenada (y=3), por isso, o eixo real deve ser paralelo ao eixo x e, a equação é:

Temos que a distância do semieixo real (a) é:

a = 5 - 2 = 3 (x do A2 menos x do C)

A semi distância focal é (c) é:

c = 6 - 2 = 4 (x do F2 menos x C)

A medida b do semieixo imaginário é obtido da seguinte relação:

Isolando b:

Substituindo os valores:

Substituindo os valores na equação da hipérbole:

Logo, a opção correta é a b.

Dados:

• C(3,4)
• A2(7,4)
• B1(3,6)

Observações:

1. O vértice A2 e o centro C possuem a mesma ordenada, y = 4. Assim, o eixo maior é paralelo ao eixo x.
2. a é a distância entre o centro C e o vértice A2;
3. b é a distância entre o centro C e B1.

A equação da elipse paralela ao eixo x das abscissas é:

As coordenadas representam a abscissa x = 3 e ordenada y = 4 do vértice.

Cálculo de a:

Subtraímos as abscissas de A2 e C.

Cálculo de b:

Subtraímos as ordenadas de B1 e C.

Substituindo os valores na equação da elipse:

Logo, a resposta correta é a opção c.

A equação reduzida de uma hipérbole com eixo maior horizontal é:

Onde:

• x0 e y0 são as coordenadas do centro.
• a é o semieixo real;
• b é o semieixo imaginário;
• c é a semi distância focal.

Medida de c:

c = 3 - 0 = 3

A excentricidade é dada por:

Substituindo o valor fornecido pelo enunciado e isolando a:

Para encontrar b², utilizamos a relação .

Isolando b e substituindo os valores:

Substituindo os valores na equação: