Função Logarítmica

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A função logarítmica de base a é definida como f (x) = log_a x, com a real, positivo e a ≠ 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial.

O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja:

Exemplos

• f (x) = log₃ x
• g (x) =
• h (x) = log₁₀ x = log x

Domínio da função logarítmica

O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo.

Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1.

Exemplo

Determine o domínio da função f (x) = log₂ (x + 3).

Solução

Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição de existência do logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos:

x + 3 > 0 ⇒ x > - 3

Assim, o domínio da função pode ser representado por:

Gráfico da função logarítmica

De uma forma geral, o gráfico da função y = log_a x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0.

Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = log_a1 = 0, para qualquer valor de a.

Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.

Função crescente e decrescente

Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x₁ < x₂ ⇔ log_a x₁ < log_a x₂. Por exemplo, a função f (x) = log₂ x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.

Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou seja, x₁ < x₂ ⇔ log_a x₁ > log_a x₂. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a .

Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo:

Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de x, mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem contudo, cortar o eixo y.

Função Exponencial

A inversa da função logarítmica é a função exponencial. A função exponencial é definida como f(x) = a^x, com a real positivo e diferente de 1.

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função logarítmica de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função exponencial.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função logarítmica cresce lentamente, a função exponencial cresce rapidamente.

Exercícios Resolvidos

1) PUC/SP - 2018

As funções , com k um número real, se intersectam no ponto . O valor de g(f(11)) é

2) Enem - 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_w), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_w e M_o se relacionam pela fórmula:

Onde M_o é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_w = 7,3.

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M_o do terremoto de Kobe (em dina.cm)

a) 10^{- 5,10}
b) 10^{- 0,73}
c) 10^12,00
d) 10^21,65
e) 10^27,00

Para saber mais, veja também:

• Propriedades dos Logaritmos
• Logaritmo - Exercícios
• O que é função
• Função Composta
• Fórmulas de Matemática

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.