Lançamento Vertical: fórmulas, exemplos e exercícios

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O lançamento vertical é um tipo de movimento onde um objeto é lançado para cima ou para baixo, sob a influência da gravidade. A trajetória é uma linha reta e a aceleração da gravidade atua constantemente no sentido descendente.

Este tipo de movimento é conhecido como U.V (Uniformemente Variado). A velocidade do objeto muda em quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Isto acontece pela ação da aceleração da gravidade, que é constante.

Note que a trajetória retilínea realizada pelo objeto pode ser orientada para cima ou para baixo.

Principais características do lançamento vertical:

A aceleração gravitacional (g) é constante e tem valor médio de 9,81m/s² na superfície da Terra;
O movimento pode ser dividido em dois: subida (movimento retardado) e descida (movimento acelerado).
No ponto mais alto, a velocidade do objeto é zero (v = 0).

Além do lançamento vertical, o arremesso de um objeto pode ocorrer:

Lançamento horizontal: movimento realizado por um objeto arremessado que envolve a queda livre na vertical e o movimento na horizontal.
Lançamento oblíquo: movimento realizado por um objeto lançado na diagonal. Nessa trajetória parabólica, ocorre a composição dos movimentos na vertical e horizontal.

Ação da gravidade no lançamento vertical

No lançamento vertical para baixo, a aceleração é positiva (g > 0). Já no lançamento vertical para cima a aceleração é negativa (g < 0).

A gravidade é responsável por alterar a velocidade do objeto na subida e na descida.

Durante a subida, a velocidade diminui devido à gravidade (a = −g). O movimento é desacelerado e a velocidade inicial (v0), diminui até zero no ponto mais alto.

Durante a descida, a velocidade aumenta, pois a gravidade acelera o objeto (a = g). O movimento é acelerado e a velocidade aumenta a partir de zero (caso o objeto seja abandonado do repouso).

Equações do Lançamento Vertical

O movimento produzido por um lançamento vertical pode ser estudado segundo algumas equações. Elas nos permitem determinar a posição e velocidade em função do tempo.

Equação da velocidade em função do tempo

Também chamada de função horária da velocidade, nos permite determinar qual será a velocidade do móvel em certo instante, conhecendo a velocidade inicial (V0).

Em lançamentos para cima a aceleração da gravidade será negativa:

$reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito menos gt$

Em lançamentos para baixo a aceleração da gravidade será positiva:

$reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito mais gt$

Exemplo de cálculo da velocidade no lançamento vertical:
Um objeto lançado verticalmente para cima com velocidade de 40 m/s e desacelerado pela ação da gravidade. Qual sua velocidade após 3 segundos do lançamento?

Resolução:

$reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito menos gt reto V parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 40 menos 9 vírgula 81.3 reto V parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 10 vírgula 57 espaço reto m dividido por reto s$

Após 3s, a velocidade do objeto será de 10,57 m/s.

Equação da posição em função do tempo

Também chamada de função horária da posição, nos permite determinar qual será a posição (altura) do móvel em certo instante, conhecendo a velocidade inicial (V0).

Nos lançamentos para baixo:

$reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço numerador reto g. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração$

Nos lançamentos para cima:

$reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito. reto t espaço menos espaço numerador reto g. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração$

Exemplo de cálculo da posição em determinado instante:
Um objeto é lançado para cima verticalmente com uma velocidade inicial de 100 m/s. Após 5s qual a altura do objeto?

Resolução:

$reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito. reto t espaço menos espaço numerador reto g. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 100.5 menos espaço numerador 9 vírgula 81.5 ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 500 menos espaço numerador 9 vírgula 81.25 sobre denominador 2 fim da fração reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 500 menos espaço 122 vírgula 625 reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 377 vírgula 375$

Assim, após três segundos, o objeto estará a aproximadamente 377,38 m do ponto de lançamento.

Equação da altura máxima

Quando o lançamento é vertical para cima, um dos interesses é conhecer a altura máxima que o objeto alcançara. Esta altura pode ser obtida por:

$reto H com máx subscrito igual a numerador reto V com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2. reto g fim da fração$

Com v0 sendo a velocidade inicial e g a aceleração da gravidade.

Exemplo de cálculo da altura máxima:
Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 60 m/s. Determine a máxima altura que poderá ser obtida.

Resolução:

$reto H com máx subscrito igual a numerador reto V com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2. reto g fim da fração reto H com máx subscrito igual a numerador 60 ao quadrado sobre denominador 2.9 vírgula 81 fim da fração reto H com máx subscrito igual a numerador 3600 sobre denominador 19 vírgula 62 fim da fração reto H com máx subscrito aproximadamente igual 216 vírgula 61 espaço reto m$

Um objeto lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 60 m/s alcançara uma altura aproximada de 216,61 m.

Equação do tempo de voo (tempo total do movimento)

Ao lançar um objeto para cima, ele ficará um tempo no ar, até retornar ao ponto inicial. Este tempo pode ser determinado por:

$reto t com total subscrito igual a 2 reto V com 0 subscrito sobre reto g$

O coeficiente 2 na equação se deve ao fato de que o tempo de subida é igual ao de descida.

Exemplo de cálculo do tempo de voo.
Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial de 18 m/s. Quanto tempo ele fica no ar durante a trajetória?

Resolução:

$reto t com total subscrito igual a 2 reto V com 0 subscrito sobre reto g reto t com total subscrito igual a 2 numerador 18 sobre denominador 9 vírgula 81 fim da fração reto t com total subscrito igual a numerador 36 sobre denominador 9 vírgula 81 fim da fração reto t com total subscrito aproximadamente igual 3 vírgula 67 espaço reto s$

Exercícios sobre lançamento vertical

Exercício 1

(PUC-RIO) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:

a) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.
b) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.
c) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é nula.
d) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.
e) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.

Ver Resposta

Alternativa d: a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.

O ponto mais alto da trajetória é exatamente onde ocorre a inversão do sentido, inicialmente para cima, depois para baixo. Neste ponto, a velocidade é 0 (zero), portanto, mínima.

No movimento vertical, a aceleração da gravidade atua a todo instante, com sentido para baixo.

Exercício 2

(UEL) Com base no texto, considere as afirmativas a seguir.

Texto I

Uma árvore versátil: [...] pesquisadores israelenses mostraram que a figueira foi a primeira planta a ser cultivada pelo homem há mais de 11 mil anos. Nas florestas tropicais, ela se destaca pelo importante papel ecológico que desempenha, alimentando grande número de aves, morcegos e macacos, entre outros animais.[...] Embora no Brasil as figueiras sejam em geral de grande porte, em outros países há desde espécies rasteiras com apenas 30 cm, até árvores com mais de 40 m de altura. Quando pensamos em uma figueira, logo lembramos de seu fruto (Ficus carica).

(Ciência Hoje. n. 249, v. 42. jun. 2008. p. 70.)

I – Sob qualquer condição, um figo e uma folha, ao caírem simultaneamente da mesma altura, percorrem a mesma distância em instantes diferentes.
II – Aves, morcegos e macacos precisam vencer a mesma energia potencial gravitacional para usufruir do alimento no alto da figueira, independentemente de suas massas.
III – Independentemente da localização geográfica de uma figueira, um figo e uma folha, desprendendo-se do alto da árvore no mesmo instante, caem em direção ao solo, sujeitos à mesma aceleração.
IV – A explicação dada para a queda do figo, do alto de uma figueira, permite compreender porque a Lua se mantém na órbita terrestre.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) somente as afirmativas I e II são corretas.
b) somente as afirmativas I e IV são corretas.
c) somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) somente as afirmativas I, II e III são corretas.
e) somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

Ver Resposta

Alternativa c: somente as afirmativas III e IV são corretas.

Afirmativa I (falsa)

"Sob qualquer condição, um figo e uma folha, ao caírem simultaneamente da mesma altura, percorrem a mesma distância em instantes diferentes."

Análise:
A queda de um objeto é influenciada pela resistência do ar. Um figo, sendo mais denso e compacto, sofre menos resistência do ar em comparação a uma folha, que tem uma área maior em relação à sua massa. Assim, o figo cai mais rápido e atinge o solo antes da folha, percorrendo a mesma distância (a altura inicial da queda) em tempos diferentes.

Assim, no vácuo folha e figo cairiam no mesmo instante.

Afirmativa II (falsa)

"Aves, morcegos e macacos precisam vencer a mesma energia potencial gravitacional para usufruir do alimento no alto da figueira, independentemente de suas massas.

Análise:
A energia potencial gravitacional Epg depende da massa do objeto (m), da aceleração da gravidade (g) e da altura (h):

$E com p subscrito igual a m vezes g vezes h$

Animais de massas diferentes possuem energias potenciais gravitacionais diferentes ao estarem na mesma altura. Logo, não é correto afirmar que precisam vencer a mesma energia potencial para subir.

Afirmativa III (verdadeira)

"Independentemente da localização geográfica de uma figueira, um figo e uma folha, desprendendo-se do alto da árvore no mesmo instante, caem em direção ao solo, sujeitos à mesma aceleração."

Análise:
A aceleração gravitacional g é aproximadamente a mesma em qualquer ponto da superfície da Terra, com variações desprezíveis. Em queda livre (desprezando a resistência do ar), todos os corpos estão sujeitos à mesma aceleração gravitacional.

Afirmativa IV (verdadeira)

"A explicação dada para a queda do figo, do alto de uma figueira, permite compreender porque a Lua se mantém na órbita terrestre."

Análise:
A queda de um figo (ou qualquer objeto) está relacionada à força gravitacional da Terra. Essa mesma força gravitacional é a responsável por manter a Lua em órbita ao redor da Terra. A explicação para a queda do figo, baseada na gravidade, é aplicável ao movimento orbital da Lua.

Exercício 3

(UERJ) Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo de vôo o intervalo de tempo durante o qual um atleta que salta para cortar uma bola está com ambos os pés fora do chão, como ilustra a fotografia.

Considere um atleta que consegue elevar o seu centro de gravidade a 0,45 m do chão e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s².

O tempo de vôo desse atleta, em segundos, corresponde aproximadamente a:

a) 0,1
b) 0,3
c) 0,6
d) 0,9
e) 0,5

Ver Resposta

Alternativa c) 0,6

Para determinar o tempo de voo basta conhecer a velocidade inicial. Como a altura máxima foi de 0,45 m:

$reto H com máx subscrito igual a numerador reto V com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2. reto g fim da fração 0 vírgula 45 igual a numerador reto V com 0 subscrito ao quadrado sobre denominador 2.10 fim da fração 0 vírgula 45 espaço. espaço 20 espaço igual a reto V com 0 subscrito ao quadrado 9 igual a reto V com 0 subscrito ao quadrado raiz quadrada de 9 igual a reto V com 0 subscrito 3 igual a reto V com 0 subscrito$

Cálculo do tempo de voo:

$reto t com total subscrito igual a 2 reto V com 0 subscrito sobre reto g reto t com total subscrito igual a 2 3 sobre 10 reto t com total subscrito igual a 6 sobre 10 reto t com total subscrito igual a 0 vírgula 6 espaço s$

Veja também: Exercícios sobre Queda Livre

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

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