Movimento Circular

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O movimento circular (MC) é aquele realizado por um corpo numa trajetória circular ou curvilínea.

Há grandezas importantes que devem ser consideradas na realização desse movimento, como o período e a frequência.

O período, medido em segundos, é o intervalo de tempo para completar um ciclo. A frequência, medida em hertz, determina quantas vezes a rotação acontece por unidade de tempo.

O período T e a frequência f se relacionam por:

$reto T igual a 1 sobre reto f espaço o u espaço f igual a 1 sobre T$

Também é comum estudar o movimento circular como MCU (movimento circular uniforme) e MCUV (movimento circular uniformemente variado).

Movimento Circular Uniforme

O movimento circular uniforme (MCU) ocorre quando um corpo descreve uma trajetória curvilínea com velocidade constante.

Por exemplo, as pás do ventilador, as lâminas do liquidificador ou a roda gigante no parque de diversões após estarem em regime estacionário. A rotação do planeta Terra é um bom exemplo de MCU.

Isto implica que no MCU não há aceleração angular e tangencial, visto que a aceleração é a variação da velocidade. A única aceleração no MCU é a centrípeta.

Posição angular

Representada pela letra grega phi (φ), a posição angular descreve o arco de um trecho da trajetória indicada por determinado ângulo.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto fi igual a reto S sobre reto R espaço fim do estilo$

Onde,
φ: posição angular (rad)
S: posição (m)
R: raio da circunferência (m)

Deslocamento angular

Representado por Δφ (delta phi), o deslocamento angular define a posição angular final e inicial da trajetória.

$começar estilo tamanho matemático 18px Δφ espaço igual a espaço ΔS sobre reto R espaço fim do estilo$

Onde,
Δφ: deslocamento angular (rad), $Δφ igual a reto fi com final subscrito menos reto fi com inicial subscrito$
ΔS: diferença entre a posição final e a posição inicial (m), $ΔS igual a reto S com final espaço subscrito fim do subscrito menos espaço reto S com inicial subscrito$
R: raio da circunferência (m).

Velocidade Angular Média

A velocidade angular média, representada pela letra grega ômega (ω), indica o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento na trajetória.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto ómega com reto m subscrito igual a Δφ sobre Δt fim do estilo$

Onde,
ωm: velocidade angular média (rad/s)
Δφ: deslocamento angular (rad)
Δt. intervalo de tempo do movimento (s)

Como o movimento é constante, a velocidade instantânea é sempre igual à média.

Importa referir que a velocidade tangencial é perpendicular à aceleração que, neste caso, é centrípeta. Isso porque ela aponta sempre para o centro da trajetória e é não nula.

A velocidade angular se relaciona com a frequência por:

$ómega igual a 2 pi espaço. espaço f$

Veja mais em:

Aceleração Centrípeta

A aceleração centrípeta ocorre nos corpos que realizam uma trajetória circular ou curvilínea, calculada pela seguinte expressão:

$negrito A com negrito c subscrito negrito espaço negrito igual a negrito V à potência de negrito 2 sobre negrito R$

Onde,
Ac: aceleração centrípeta (m/s2)
V: velocidade (m/s)
R: raio da trajetória circular (m)

Força Centrípeta

A força centrípeta está presente nos movimentos circulares, calculada através da fórmula da Segunda Lei de Newton (Princípio da dinâmica):

$começar estilo tamanho matemático 18px reto F com reto c subscrito igual a reto m espaço. espaço reto a com reto c subscrito fim do estilo$

Onde,
Fc: força centrípeta (N)
m: massa (Kg)
ac: aceleração centrípeta (m/s2)

Função horária angular do MCU

A função horária determina a posição de um móvel na trajetória, após o movimento ter se iniciado, em algum instante de tempo.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto fi parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto fi com 0 subscrito mais reto ómega espaço. espaço reto t fim do estilo$

Por isso, a posição em um instante qualquer depende da posição inicial. Também, depende da velocidade angular e de quanto se passou desde o início da contagem.

A posição inicial e a velocidade angular são constantes.

Movimento Circular Uniformemente Variado

O movimento circular uniformemente variado (MCUV) também descreve uma trajetória curvilínea, contudo, sua velocidade varia durante o percurso.

Assim, o movimento circular acelerado é aquele em que um objeto sai do repouso ou de velocidade constante, dando início à aceleração.

Todo movimento variado de maneira uniforme possui aceleração constante. Assim a aceleração média é igual à instantânea em todo o movimento.

Isto implica que a cada unidade de tempo, a velocidade aumenta ou diminui a mesma quantidade.

Aceleração Angular Média

Representada pela letra grega alpha (α), a aceleração angular determina a variação da velocidade angular no intervalo de tempo da trajetória.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto alfa igual a reto ómega sobre Δt fim do estilo$

Onde,
α: aceleração angular média (rad/s²)
ω: velocidade angular média (rad/s)
Δt: intervalo de tempo da trajetória (s)

Função horária da velocidade no MCUV

Para determinar a velocidade angular em determinado instante de tempo, utiliza-se a função da velocidade, onde a velocidade inicial e a aceleração são constantes.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto ómega parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto ómega com 0 subscrito mais reto a espaço. espaço reto t fim do estilo$

Função horária da posição no MCUV

A função horária da posição depende da posição inicial, da velocidade inicial e da aceleração, que são constantes. A única variável é o tempo.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto fi parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto fi com 0 subscrito mais reto ómega com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço reto a sobre 2. espaço reto t ao quadrado fim do estilo$

Exercícios sobre movimento circular

Exercício 1

(PUC-SP) Lucas foi presenteado com um ventilador que, 20s após ser ligado, atinge uma frequência de 300rpm em um movimento uniformemente acelerado.

O espírito científico de Lucas o fez se perguntar qual seria o número de voltas efetuadas pelas pás do ventilador durante esse intervalo de tempo. Usando seus conhecimentos de Física, ele encontrou

a) 300 voltas
b) 900 voltas
c) 18 000 voltas
d) 50 voltas
e) 6 000 voltas

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 50 voltas.

Passo 1: cálculo da velocidade angular.

A velocidade angular se relaciona com a frequência por:

$ómega igual a 2 pi espaço. espaço f$

Substituindo f por 300 rpm (rotações por minuto) ou 300 / 60 s.

$ómega igual a 2 pi espaço. espaço 300 sobre 60 igual a 10 pi espaço r a d$

Passo 2: cálculo da aceleração.

$a espaço igual a espaço numerador delta maiúsculo V sobre denominador delta maiúsculo t fim da fração igual a numerador 10 pi sobre denominador 20 fim da fração$

Passo 3: cálculo da variação da posição $delta maiúsculo fi$

$delta maiúsculo fi igual a fi com f i n a l subscrito fim do subscrito menos espaço fi com i n i c i a l espaço subscrito fim do subscrito delta maiúsculo fi igual a fi com f i n a l subscrito fim do subscrito menos espaço 0 delta maiúsculo fi igual a fi com f i n a l subscrito fim do subscrito$

A variação da posição pode ser calculada pela função horária da posição.

$começar estilo tamanho matemático 16px reto fi parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto fi com 0 subscrito mais reto ómega com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço reto a sobre 2. espaço reto t ao quadrado reto fi parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 0 mais 0 espaço mais espaço numerador começar estilo mostrar numerador 10 reto pi sobre denominador 20 fim da fração fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração. espaço 20 ao quadrado reto fi parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a numerador 10 reto pi sobre denominador 20 fim da fração.1 meio.400 espaço igual a 100 reto pi espaço rad fim do estilo$

Passo 4: número de voltas

O número de voltas pode ser calculado por uma regra de três.

$2 pi espaço$ rad está para uma volta, assim como $100 pi$ rad está para o número de voltas que queremos determinar.

$2 pi espaço seta para a direita espaço 1 espaço v o l t a 100 pi seta para a direita espaço x numerador 2 pi sobre denominador 100 pi fim da fração igual a 1 sobre x x igual a numerador 100 pi sobre denominador 2 pi fim da fração igual a 50$

Conclusão
O ventilador completará 50 voltas até 20s.

Veja também: Fórmulas de Física

Exercício 2

(UFRS) Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 segundos. O período (em s) e a frequência (em $s à potência de menos 1 fim do exponencial$ ) do movimento são, respectivamente:

a) 0,50 e 2,0
b) 2,0 e 0,50
c) 0,50 e 5,0
d) 10 e 20
e) 20 e 2,0

Ver Resposta

Alternativa correta: a) 0,50 e 2,0.

Frequência é a quantidade de ciclos em um determinado tempo.

$f espaço igual a espaço numerador 20 espaço v o l t a s sobre denominador 10 espaço s fim da fração igual a 2 vírgula 0 espaço$

O perído é o inverso da frequência, por isso:

$T espaço igual a espaço 1 sobre f igual a numerador 1 sobre denominador 2 vírgula 0 fim da fração igual a 0 vírgula 50$

Para mais questões, veja os Exercícios sobre Movimento Circular Uniforme.

Exercício 3

(Unifesp) Pai e filho passeiam de bicicleta e andam lado a lado com a mesma velocidade. Sabe-se que o diâmetro das rodas da bicicleta do pai é o dobro do diâmetro das rodas da bicicleta do filho.

Pode-se afirmar que as rodas da bicicleta do pai giram com

a) a metade da frequência e da velocidade angular com que giram as rodas da bicicleta do filho.
b) a mesma frequência e velocidade angular com que giram as rodas da bicicleta do filho.
c) o dobro da frequência e da velocidade angular com que giram as rodas da bicicleta do filho.
d) a mesma frequência das rodas da bicicleta do filho, mas com metade da velocidade angular.
e) a mesma frequência das rodas da bicicleta do filho, mas com o dobro da velocidade angular.

Ver Resposta

Alternativa correta: a) a metade da frequência e da velocidade angular com que giram as rodas da bicicleta do filho.

Passo 1: velocidade angular

A velocidade tangencial se relaciona com a velocidade angular por:

$V espaço igual a espaço ómega espaço. espaço R$

Como as bicicletas andam lado a lado e a velocidade tangencial é a mesma para os dois, temos:

$V com P subscrito igual a V com F subscrito ómega com P subscrito espaço. espaço R com P subscrito igual a ómega com F subscrito espaço. espaço R com F subscrito$

Ainda temos que o diâmetro da bicicleta da filho é a metade da do pai, portando também o raio é a metade.

$R com F subscrito igual a R com P subscrito sobre 2$

Substituindo na primeira relação:

$ómega com P subscrito espaço. espaço R com P subscrito igual a ómega com F subscrito espaço. espaço R com F subscrito ómega com P subscrito espaço. espaço R com P subscrito igual a ómega com F subscrito espaço. espaço R com P subscrito sobre 2 ómega com P subscrito igual a ómega com F subscrito espaço. espaço numerador R com P subscrito sobre denominador 2. espaço R com P subscrito fim da fração ómega com P subscrito igual a ómega com F subscrito espaço. espaço numerador riscado diagonal para cima sobre R com P subscrito fim do riscado sobre denominador 2. espaço riscado diagonal para cima sobre R com P subscrito fim do riscado fim da fração ómega com P subscrito igual a ómega com F subscrito sobre 2$

Por isto a velocidade angular da bicicleta do pai é a metade da do filho.

Passo 2: frequência

A frequência só depende da velocidade angular, sendo assim, como a velocidade angular é a metade da do filho, a frenquencia também é.

$ómega igual a 2 pi espaço. espaço f f espaço igual a espaço numerador ómega sobre denominador 2 pi fim da fração$

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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