Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é um movimento em linha reta onde a velocidade varia de forma constante ao longo do tempo. Em outras palavras, o MRUV ocorre quando há uma aceleração constante, fazendo a velocidade do objeto aumentar ou diminuir de maneira uniforme.

A trajetória reta desse movimento pode ocorrer na horizontal ou na vertical. Exemplo disso é um carro percorrendo um trecho retilíneo em uma estrada ou um foguete sendo lançado ao espaço.

O MRUV possui como principais características:

A trajetória é uma linha reta;
Possui aceleração constante;
A velocidade varia uniformemente;
O movimento pode ser acelerado (aumento de velocidade) ou retardado (diminuição de velocidade).

O conceito de aceleração

A aceleração (a) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em MRUV, a aceleração é constante, o que significa que a velocidade muda sempre na mesma quantidade a cada intervalo igual de tempo.

Fórmula da aceleração

A aceleração é calculada pela divisão entre a variação da velocidade e do tempo.

$reto a igual a numerador reto delta maiúsculo reto v sobre denominador reto delta maiúsculo reto t fim da fração$

Onde:

a é a aceleração (m/s²);
$incremento reto V$ é a variação da velocidade (m/s);
$reto delta maiúsculo reto t$ é a variação do tempo (s).

No Sistema Internacional de Unidades, a aceleração é medida em m/s².

Exemplo de cálculo da aceleração:
Um objeto em movimento retilíneo a 3 m/s acelera para 9 m/s em 2 segundos. Determine sua aceleração.

Resolução:

$reto a igual a numerador reto delta maiúsculo reto v sobre denominador reto delta maiúsculo reto t fim da fração reto a igual a numerador 9 espaço menos espaço 3 sobre denominador 2 fim da fração reto a igual a 6 sobre 2 reto a igual a 3 espaço reto m dividido por reto s ²$

Outras grandezas importantes no estudo do movimento em MRUV são a velocidade e a posição em que um objeto se encontra em determinado instante.

Equações no MRUV

Para estudar o movimento de um objeto que se move em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, utilizamos três equações: uma para velocidade e uma para a posição conforme o tempo, e outra que nos permite determinar a velocidade em função de sua posição.

Fórmula da velocidade

Também conhecida como equação ou função horária da velocidade. Ela nos permite determinar o valor da velocidade no instante t, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito mais reto a. reto t fim do estilo$

Onde:

$V com 0 subscrito$ é a velocidade inicial;
a é a aceleração;
t é o tempo.

Exemplo de cálculo da velocidade no MRUV:
Partindo do repouso, um objeto acelera 3 m/s² durante 5 segundos. Determine sua velocidade neste instante.

Resolução:
$reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto V com 0 subscrito mais reto a. reto t reto V parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 0 mais 3.5 reto V parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 15 espaço m dividido por s$

Após 5 segundos, a velocidade do móvel é de 15 m/s.

Fórmula da posição

A fórmula da posição também é conhecida por equação ou, função horária da posição.

Podemos determinar a posição de um corpo que se move em MRUV a partir de informações iniciais, sendo: a posição inicial na trajetória, a velocidade inicial e a aceleração.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto S com 0 subscrito espaço mais espaço reto V com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço numerador reto a. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo$

Exemplo de cálculo da posição no MRUV:
Um móvel parte do início da trajetória com velocidade inicial de 5 km/h e aceleração de 1 km/h². Após 5 h, qual sua posição?

Resolução:
$reto S parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto S com 0 subscrito espaço mais espaço reto V com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço numerador reto a. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 0 espaço mais espaço 5.5 mais espaço numerador 1.5 ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 25 mais espaço 25 sobre 2 reto S parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 25 mais 12 vírgula 5 reto S parêntese esquerdo 5 parêntese direito igual a 37 vírgula 5 espaço km$

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli nos permite calcular a velocidade de um móvel conhecendo a distância percorrida, a aceleração e a velocidade inicial.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto V com reto f subscrito ao quadrado igual a reto V com reto i subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto S fim do estilo$

Exemplo de cálculo com a equação de Torricelli:
Determine a velocidade final de um móvel em MRUV com aceleração de 5 m/s², tendo iniciado o movimento a partir do repouso e percorrido 30 metros.

Resolução:
$começar estilo tamanho matemático 16px reto V com reto f subscrito ao quadrado igual a reto V com reto i subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto S reto V com reto f subscrito ao quadrado igual a 0 mais 2.5.30 reto V com reto f subscrito ao quadrado igual a 300 reto V com reto f subscrito igual a raiz quadrada de 300 reto V com reto f subscrito aproximadamente igual 17 vírgula 3 espaço reto m dividido por reto s fim do estilo$

Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado

O Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado ocorre quando um corpo cuja velocidade aumenta sempre na mesma proporção ao longo do tempo.

Exemplo disso é ligar uma moto que está estacionada (velocidade inicial 0) e começar um percurso. A moto vai ganhando velocidade de forma constante, até atingir o limite que pretende (velocidade diferente e distante de zero).

Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado

O Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado ocorre quando um corpo em movimento reduz a sua velocidade de forma constante ao longo do tempo. Neste caso a aceleração terá sinal negativo.

Exemplo disso é uma moto que está em movimento (velocidade diferente e distante de zero) e que têm de desacelerar quando se depara com um grande congestionamento.

Seu motorista poderá reduzir a velocidade de forma constante até chegar a zero.

Leia também:

Exercícios sobre MRUV

Exercício 1

(UFPR) Em uma prova internacional de ciclismo, dois dos ciclista, um francês e, separado por uma distância de 15 m à sua frente, um inglês, se movimentam com velocidades iguais e constantes de módulo 22 m/s.

Considere agora que o representante brasileiro na prova, ao ultrapassar o ciclista francês, possui uma velocidade constante de módulo 24 m/s e inicia uma aceleração constante de módulo 0,4 m/s², com o objetivo de ultrapassar o ciclista inglês e ganhar a prova. No instante em que ele ultrapassa o ciclista francês, faltam ainda 200 m para a linha de chegada.

Com base nesses dados e admitindo que o ciclista inglês, ao ser ultrapassado pelo brasileiro, mantenha constantes as características do seu movimento, assinale a alternativa correta para o tempo gasto pelo ciclista brasileiro para ultrapassar o ciclista inglês e ganhar a corrida.

a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s

Ver Resposta

Alternativa: e) 5 s

Dados fornecidos:

Distância entre o francês e o inglês: d=15 m
Velocidade do ciclista inglês: 22 m/s
Velocidade inicial do brasileiro: brasileiro=24 m/s
Aceleração do brasileiro: a=0,4 m/s²
Distância total restante até a linha de chegada: D=200 m

Queremos calcular o tempo necessário para o brasileiro ultrapassar o inglês.

Posição do ciclista inglês em função do tempo:

O ciclista inglês mantém velocidade constante. Sua posição é dada por:

$reto S com inglês subscrito igual a reto S com 0 subscrito espaço mais espaço Vt reto S com inglês subscrito igual a 15 espaço mais espaço 22 reto t$

Posição do ciclista brasileiro em função do tempo:

O ciclista brasileiro tem movimento uniformemente acelerado. Sua posição em relação ao ponto onde ultrapassa o francês é dada por:

$reto S com brasileiro subscrito parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto S com 0 subscrito espaço mais espaço reto V com 0 subscrito. reto t espaço mais espaço numerador reto a. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S com brasileiro subscrito parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 0 espaço mais espaço 24. reto t espaço mais espaço numerador 0 vírgula 4. reto t ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração reto S com brasileiro subscrito parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a 24. reto t espaço mais espaço 0 vírgula 2. reto t ao quadrado$

Condição de ultrapassagem:

Para que o brasileiro ultrapasse o inglês, suas posições devem ser iguais:

$reto S com brasileiro subscrito parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a reto S com i n g l ê s subscrito fim do subscrito parêntese esquerdo reto t parêntese direito 24. reto t espaço mais espaço 0 vírgula 2. reto t ao quadrado igual a 15 mais 22 reto t$

Simplificando a equação:

$24 reto t espaço mais espaço 0 vírgula 2. reto t ao quadrado igual a 15 mais 22 reto t 0 vírgula 2. reto t ao quadrado espaço menos espaço 22 reto t espaço mais 24 reto t menos 15 igual a 0 0 vírgula 2. reto t ao quadrado mais espaço 2 reto t menos 15 igual a 0$

Multiplicamos por 10 para eliminar o decimal:

$2 reto t ao quadrado mais espaço 20 reto t menos 150 igual a 0$

Dividimos todos os termos por 2:

$reto t ao quadrado mais espaço 10 reto t menos 75 igual a 0$

Resolvendo a equação quadrática:

Usamos a fórmula de Bhaskara:

$t igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4 a c fim da raiz sobre denominador 2 a fim da fração$

Onde:

a=1
b=-10
c=75

Substituindo os valores na equação:

$reto t igual a numerador menos reto b mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos 4 ac fim da raiz sobre denominador 2 reto a fim da fração reto t igual a numerador menos 10 mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 75 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto t igual a numerador menos 10 mais ou menos raiz quadrada de 100 mais 300 fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto t igual a numerador menos 10 mais ou menos raiz quadrada de 400 sobre denominador 2.1 fim da fração reto t igual a numerador menos 10 mais ou menos 20 sobre denominador 2 fim da fração reto t igual a numerador menos 10 mais 20 sobre denominador 2 fim da fração igual a 10 sobre 2 igual a 5 espaço reto s ou reto t igual a numerador menos 10 menos 20 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 30 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 15 espaço reto s$

Descartando a resposta negativa, temos que o tempo é de 5 s.

Veja também pode se interessar por: Cinemática e Exercícios de Cinemática

Exercício 2

(IFBA) O Beach park, localizado em Fortaleza – CE, é o maior parque aquático da América Latina situado na beira do mar. Uma das suas principais atrações é um toboágua chamado “Insano”. Descendo esse toboágua, uma pessoa atinge sua parte mais baixa com velocidade módulo 28 m/s. Considerando-se a aceleração da gravidade com módulo g= 10 m/s² e desprezando-se os atritos, estima-se que a altura do toboágua, em metros, é de:

a) 28
b) 274,4
c) 40
d) 2,86
e) 32

Ver Resposta

Alternativa: c) 40

Podemos utilizar a equação de Torricelli para determinar a altura.

$V ao quadrado igual a V com 0 subscrito ao quadrado mais 2 a incremento S$

Com:

V = 28 m/s
V0 = 0 m/s
a = 10 m/s²

^{Substituindo os valores e resolvendo para S:}

$reto V ao quadrado igual a reto V com 0 subscrito ao quadrado mais 2 reto a incremento reto S 28 ao quadrado igual a 0 mais 2.10. incremento reto S 784 igual a 20. incremento reto S incremento reto S igual a 784 sobre 20 incremento reto S igual a 39 vírgula 2 espaço reto m$

A altura do toboágua é de, aproximadamente, 40 m.

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Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

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