Multiplicação de frações

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A multiplicação de frações consiste em multiplicar os termos da fração, ou seja, numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.

Com isto, obteremos uma fração que é o produto das frações multiplicadas, independente da quantidade de frações que participem da operação.

Demonstração da multiplicação de frações

Antes de iniciar, vamos revisar os termos de uma fração para não ficar nenhuma dúvida.

$tabela linha com célula com 2em moldura inferior fim da célula seta para a esquerda numerador linha com 4 seta para a esquerda denominador fim da tabela$

O numerador é o número que fica acima do traço de fração e indica as partes tomadas. Já o número abaixo é o denominador, que nos dá a informação de quantas partes o todo foi dividida.

Exemplo

$2 sobre 4 sinal de multiplicação 3 sobre 2 igual a numerador 2 sinal de multiplicação 3 sobre denominador 4 sinal de multiplicação 2 fim da fração igual a negrito 6 sobre negrito 8$

Multiplicação de fração por um número inteiro

Para multiplicar um número inteiro por uma fração devemos multiplicar apenas o numerador da fração e repetir o denominador.

Como fazer: $reto a espaço reto x espaço reto b sobre reto c espaço igual a espaço numerador reto a espaço reto x espaço reto b sobre denominador reto c fim da fração$

Exemplos:

$4 espaço reto x espaço 2 sobre 7 espaço igual a espaço numerador 4 espaço reto x espaço 2 sobre denominador 7 fim da fração igual a 8 sobre 7$

$6 sobre 7 espaço reto x espaço 8 espaço igual a espaço numerador 6 espaço reto x espaço 8 sobre denominador 7 fim da fração igual a 48 sobre 7$

Multiplicação de frações com denominadores iguais

Na multiplicação das frações os numeradores e denominadores são multiplicados mesmo que apresentem termos iguais.

Como fazer: $reto a sobre reto b espaço reto x espaço reto c sobre reto b espaço igual a espaço numerador reto a espaço reto x espaço reto c sobre denominador reto b espaço reto x espaço reto b fim da fração$

Exemplos:

$3 sobre 5 espaço reto x espaço 3 sobre 5 igual a numerador 3 espaço reto x espaço 3 sobre denominador 5 espaço reto x espaço 5 fim da fração igual a 9 sobre 25$

$2 sobre 7 espaço reto x espaço 3 sobre 7 espaço igual a espaço numerador 2 espaço reto x espaço 3 sobre denominador 7 espaço reto x espaço 7 fim da fração espaço igual a espaço 6 sobre 49$

Cuidado! Não confunda com a soma e subtração de frações. Nesses casos, quando o denominador é igual devemos repeti-lo.

Multiplicação de frações com denominadores diferentes

Não importa a quantidade de frações, vamos sempre multiplicar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores.

Como fazer: $reto a sobre reto b espaço reto x espaço reto c sobre reto d espaço igual a espaço numerador reto a espaço reto x espaço reto c sobre denominador reto b espaço reto x espaço reto d fim da fração$

Exemplos:

$2 sobre 3 espaço reto x espaço 4 sobre 5 espaço igual a espaço numerador 2 espaço reto x espaço 4 sobre denominador 3 espaço reto x espaço 5 fim da fração espaço igual a espaço 8 sobre 15$

$1 sobre 11 espaço reto x espaço 7 sobre 5 espaço reto x espaço 9 sobre 13 espaço igual a espaço numerador 1 espaço reto x espaço 7 espaço reto x espaço 9 sobre denominador 11 espaço reto x espaço 5 espaço reto x espaço 13 fim da fração espaço igual a espaço 63 sobre 715$

Multiplicação de uma fração mista por outra fração

Uma fração mista é formada por uma parte inteira e outra parte fracionária.

Para realizar a multiplicação, primeiro devemos transformar a fração mista em uma fração imprópria, cujo numerador é maior que o denominador.

Como fazer:

1º passo: transformar a fração mista em uma fração imprópria.

$tabela linha com célula com reto a reto b sobre reto c fim da célula igual a célula com numerador reto c espaço reto x espaço reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto c fim da fração fim da célula igual a célula com reto d sobre reto c fim da célula blank linha com seta para cima blank blank blank seta para cima blank linha com célula com Fração espaço espaço espaço mista fim da célula blank blank blank célula com tabela linha com Fração linha com imprópria fim da tabela fim da célula blank linha com blank blank blank blank blank blank fim da tabela$

2º passo: multiplicar a fração imprópria com a fração escolhida.

$reto d sobre reto c espaço reto x espaço reto e sobre reto f espaço igual a espaço numerador reto d espaço reto x espaço reto e sobre denominador reto c espaço reto x espaço reto f fim da fração$

Exemplo:

$negrito 1 negrito espaço negrito 3 sobre negrito 4 espaço espaço espaço espaço reto x espaço espaço espaço espaço numerador 3 espaço sobre denominador 5 fim da fração igual a numerador 4 espaço reto x espaço 1 espaço mais espaço 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço reto x espaço numerador 3 espaço sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço numerador 4 espaço mais espaço 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço reto x espaço numerador 3 espaço sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço negrito 7 sobre negrito 4 espaço espaço espaço espaço reto x espaço espaço espaço espaço numerador 3 espaço sobre denominador 5 fim da fração igual a espaço 21 sobre 20 Fração espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Fração espaço espaço mista espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço imprópria$

Veja também: Multiplicação e Divisão de Frações

Regra de sinais na multiplicação de frações

Utilizamos os sinais como na multiplicação de números inteiros.

Sinais iguais resultam em positivo.

$começar estilo tamanho matemático 26px negrito menos espaço sinal de multiplicação espaço negrito menos espaço igual a espaço negrito mais fim do estilo$

$começar estilo tamanho matemático 26px negrito mais espaço sinal de multiplicação espaço negrito mais espaço igual a espaço negrito mais fim do estilo$

Exemplos

$menos 12 sobre 7 sinal de multiplicação abre parênteses menos 3 sobre 11 fecha parênteses igual a mais 36 sobre 77$

$mais 2 sobre 3 sinal de multiplicação abre parênteses mais 4 sobre 5 fecha parênteses igual a mais 8 sobre 15$

Sinais diferentes resultam em negativo.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Exemplos

$menos 6 sobre 13 sinal de multiplicação abre parênteses menos 10 sobre 5 fecha parênteses igual a mais 60 sobre 80$

$menos 9 sobre 15 sinal de multiplicação abre parênteses mais 11 sobre 10 fecha parênteses igual a menos 99 sobre 150$

Simplificação de frações

É preciso lembrar de algo importante: às vezes você precisará simplificar o resultado após multiplicar os termos das frações.

Observe esta multiplicação de frações: $4 sobre 5 espaço reto x espaço 3 sobre 4 espaço igual a espaço numerador 4 espaço reto x espaço 3 sobre denominador 5 espaço reto x espaço 4 fim da fração espaço igual a espaço 12 sobre 20$

Você notou que os dois termos são pares e, podemos dividi-los por 2?

Quando isso acontece podemos ir dividindo os termos da fração pelo mesmo número até não haver mais nenhum número capaz de dividir os dois simultaneamente.

$12 à potência de dividido por 2 fim do exponencial sobre 20 à potência de dividido por 2 fim do exponencial igual a 6 à potência de dividido por 2 fim do exponencial sobre 10 à potência de dividido por 2 fim do exponencial igual a 3 sobre 5$

Portanto, a fração $3 sobre 5$ é chamada de fração irredutível, pois não tem como ser simplificada. Embora $12 sobre 20$ e $3 sobre 5$ sejam frações aparentemente diferentes, elas são frações equivalentes e apresentam o mesmo resultado.

$12 sobre 20 igual a 3 sobre 5 igual a 0 vírgula 6$

Dicas para multiplicar frações rapidamente

Nas situações que veremos a seguir, as operações podem ter o resultado apresentado sem ter que passar pelos passos vistos anteriormente.

Eliminação de fatores iguais

Quando as frações que serão multiplicadas apresentam o mesmo termo no numerador e no denominador, este número pode ser eliminado dividindo-o por ele mesmo.

Exemplo: $numerador 2 sobre denominador diagonal para cima risco 3 fim da fração espaço reto x espaço numerador diagonal para cima risco 3 sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço 2 sobre 5$

Veja como seria feita a multiplicação das frações sem eliminar os fatores iguais:

$2 sobre 3 espaço reto x espaço 3 sobre 5 igual a espaço numerador 2 espaço reto x espaço 3 sobre denominador 3 espaço reto x espaço 5 fim da fração igual a 6 sobre 15$

Logo em seguida, o resultado poderia ser simplificado da seguinte forma:

$6 à potência de dividido por 3 fim do exponencial sobre 15 à potência de dividido por 3 fim do exponencial igual a 2 sobre 5$

Método do cancelamento

Neste método, podemos simplificar as frações antes de realizar a multiplicação. A simplificação é feita eliminando os termos iguais no numerador e denominador e, além disso, simplificando os números que são múltiplos.

Exemplo: $numerador diagonal para cima risco 5 sobre denominador tabela linha com célula com diagonal para cima risco 12 fim da célula linha com 4 linha com blank fim da tabela fim da fração espaço reto x espaço numerador tabela linha com blank linha com 1 linha com célula com diagonal para cima risco 3 fim da célula fim da tabela sobre denominador diagonal para cima risco 5 fim da fração espaço igual a espaço 1 quarto reto x espaço 1 sobre 1 igual a 1 quarto$

Neste exemplo, cancelamos os números 5 e substituímos por 1. Os números 3 e 12 foram simplificados dividindo por 3 e o resultado da divisão ficou no lugar dos números.

Veja como a multiplicação seria feita sem o cancelamento:

$5 sobre 12 espaço reto x espaço 3 sobre 5 espaço igual a espaço numerador 5 espaço reto x espaço 3 sobre denominador 12 espaço reto x espaço 5 fim da fração espaço igual a espaço 15 sobre 60$

O resultado poderia ser simplificado assim:

$15 à potência de dividido por 5 fim do exponencial sobre 60 à potência de dividido por 5 fim do exponencial igual a 3 à potência de dividido por 3 fim do exponencial sobre 12 à potência de dividido por 3 fim do exponencial igual a 1 quarto$

Para quem está começando a aprender frações:

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de frações

Questão 1

Efetue a multiplicação $3 sobre 4 espaço reto x espaço 1 meio$ e escreva o inverso do resultado.

Ver Resposta

Resposta correta: $8 sobre 3$ .

Realizamos a multiplicação efetuando o produto do numerador e denominador.

$3 sobre 4 espaço reto x espaço 1 meio espaço igual a espaço numerador 3 espaço reto x espaço 1 sobre denominador 4 espaço reto x espaço 2 fim da fração espaço igual a espaço 3 sobre 8$

A fração inversa de um número é aquela que quando multiplicada pela fração original tem como resultado 1.

Portanto, a fração inversa de $3 sobre 8$ é $8 sobre 3$ , pois

$3 sobre 8 reto x 8 sobre 3 igual a numerador 3 espaço reto x espaço 8 sobre denominador 8 espaço reto x espaço 3 fim da fração igual a 24 sobre 24 igual a 1$

Questão 2

Suzana estava organizando seus esmaltes e percebeu que das 12 cores que ela tinha, 2/3 eram da marca Alfa. Quantos esmaltes Alfa Suzana possui?

Ver Resposta

Resposta correta: 8 esmaltes Alfa.

Neste caso, temos a multiplicação de uma fração por um número inteiro. Logo, podemos multiplicar o número pelo numerador da fração e dividir pelo denominador.

$12 espaço. espaço 2 sobre 3 espaço igual a espaço numerador 12 espaço. espaço 2 sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a espaço 24 sobre 3$

Como 24 é múltiplo de 3, podemos dividir o numerador pelo denominador.

$numerador 24 espaço sobre denominador 3 fim da fração igual a espaço 8$ .

Sendo assim, Suzana possui 8 esmaltes da marca Alfa.

Questão 3

A escala numérica de um mapa apresenta que a cada 1 cm de distância no desenho, tem-se que a distância real de 5 $tipográfico 1 quarto$ km. Sendo a distância entre as cidades A e B apresentada no mapa como sendo de 12 cm, determine a distância real em quilômetros.

Ver Resposta

Resposta correta: 63 km.

O primeiro passo para resolver a questão é transformar a fração mista em uma única fração.

$tabela linha com célula com 5 1 quarto fim da célula igual a célula com numerador 4 espaço reto x espaço 5 espaço mais espaço 1 sobre denominador 4 fim da fração fim da célula igual a célula com 21 sobre 4 fim da célula blank linha com seta para cima blank blank blank seta para cima blank linha com célula com Fração espaço espaço espaço mista fim da célula blank blank blank célula com tabela linha com Fração linha com imprópria fim da tabela fim da célula blank linha com blank blank blank blank blank blank fim da tabela$

Agora, através da regra de três, calculamos a distância real.

$tabela linha com célula com 1 espaço cm fim da célula menos célula com 21 sobre 4 km fim da célula linha com célula com 12 espaço cm fim da célula menos reto x linha com blank blank blank linha com reto x igual a célula com numerador 12 espaço diagonal para cima risco cm espaço. espaço começar estilo mostrar 21 sobre 4 fim do estilo espaço km sobre denominador 1 espaço diagonal para cima risco cm fim da fração fim da célula linha com reto x igual a célula com 252 sobre 4 espaço km fim da célula linha com reto x igual a célula com 63 espaço km fim da célula fim da tabela$

Para mais questões, confira:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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