Múltiplos e divisores

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os múltiplos de um número são obtidos multiplicando o número por um fator. Este fator, por sua vez, é também divisor do múltiplo encontrado.

Exemplo:

6 é um múltiplo de 2, pois 2 x 3 = 6
2 é um divisor de 6, pois 6 $dividido por$ 2 = 3

Quando um número é múltiplo de outro é o mesmo que dizer que o primeiro é divisível pelo último. No nosso exemplo 6 é múltiplo de 2 e, portanto, é divisível por 2, ou seja, 2 é divisor de 6.

Sendo assim, os múltiplos de um número podem ser obtidos multiplicando-o por 1, 2, 3, 4, 5… Logo, os múltiplos de um número são infinitos.

Já os divisores de um número são aqueles cuja divisão tem como resultado um número inteiro, ou seja, a divisão é exata.

Múltiplos de um número

Podemos representar a fórmula geral para encontrar o múltiplo de um número como:

$reto b espaço igual a espaço reto a espaço. espaço reto k$

Onde,

b é o múltiplo
a é um número natural
k é um número natural qualquer

Observe a seguir o conjunto dos múltiplos de alguns números quando k varia de 0 a 10.

Múltiplos de 2

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 2 . k, ...}

Múltiplos de 3

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 3 . k, ...}

Múltiplos de 4

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 4 . k, ...}

Múltiplos de 5

M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 5 . k, ...}

Múltiplos de 6

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 6 . k, ...}

Múltiplos de 7

M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 7 . k, ...}

Múltiplos de 8

M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 8 . k, ...}

Múltiplos de 9

M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 9 . k, ...}

Os múltiplos dos exemplos acima foram obtidos realizando a multiplicação com um número qualquer.

Note também que todo número natural é múltiplo dele mesmo e o zero só tem um múltiplo, que é o próprio zero, mas ele é múltiplo de todos os números.

Leia também sobre Mínimo Múltiplo Comum - MMC.

Como saber se um número é múltiplo de outro?

Para saber se um número é múltiplo de outro devemos dividir o múltiplo pelo número e a divisão deve ser exata (resto igual a zero).

$tabela linha com dividendo seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço 72 fim da célula célula com espaço espaço espaço 6 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula seta para a esquerda divisor linha com blank blank célula com espaço espaço menos espaço 72em moldura inferior fecha moldura fim da célula 12 seta para a esquerda quociente linha com resto seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank blank blank fim da tabela$

A divisão é a operação inversa da multiplicação. Se 72 é divisível por 6, então 72 é múltiplo de 6.

Divisores de um número

Um número é divisor do outro quando não há resto na divisão. Observe os exemplos.

Divisão de 40 por 5.

$tabela linha com dividendo seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço 40 fim da célula célula com espaço espaço espaço 5 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula seta para a esquerda divisor linha com blank blank célula com espaço espaço menos espaço 40em moldura inferior fecha moldura fim da célula 8 seta para a esquerda quociente linha com resto seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank blank blank fim da tabela$

Divisão de 40 por 7.

$tabela linha com dividendo seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço 40 fim da célula célula com espaço espaço espaço 7 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula seta para a esquerda divisor linha com blank blank célula com espaço espaço menos espaço 35em moldura inferior fecha moldura fim da célula 5 seta para a esquerda quociente linha com resto seta para a direita célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 5 fim da célula blank blank blank fim da tabela$

Veja que na divisão de 40 por 5 não há resto, ou seja, a divisão é exata e, portanto, 5 é divisor de 40. No outro exemplo restam 5 unidades após a divisão, então 7 não é divisor de 40.

Note que os números podem ter vários divisores. Veja o exemplo com o número 8.

tabela linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço 8 fim da célula célula com espaço espaço espaço 1 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula linha com célula com espaço espaço menos espaço 8em moldura inferior fecha moldura fim da célula 8 linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank fim da tabela

tabela linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço 8 fim da célula célula com espaço espaço espaço 2 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula linha com célula com espaço espaço menos espaço 8em moldura inferior fecha moldura fim da célula 4 linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank fim da tabela

tabela linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço 8 fim da célula célula com espaço espaço espaço 4 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula linha com célula com espaço espaço menos espaço 8em moldura inferior fecha moldura fim da célula 2 linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank fim da tabela

tabela linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço 8 fim da célula célula com espaço espaço espaço 8 espaço espaço em moldura inferior fecha moldura em moldura esquerda fecha moldura fim da célula linha com célula com espaço espaço menos espaço 8em moldura inferior fecha moldura fim da célula 1 linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 fim da célula blank fim da tabela

Confira alguns exemplos de divisores de números naturais.

Número	Divisores
2	1, 2
3	1, 3
4	1, 2, 4
5	1, 5
6	1, 2, 3, 6
7	1, 7
8	1, 2, 4, 8
10	1, 2, 5, 10
12	1, 2, 3, 4, 6, 12
15	1, 3, 5, 15
20	1, 2, 4, 5, 10, 20
25	1, 5, 25
30	1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

O conjunto dos divisores de um número é finito e vai do 1 ao próprio número, ao contrário dos múltiplos que são infinitos.

Observe que alguns números só possuem dois divisores: 1 e o próprio número. Esses números são chamados de números primos. São exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.

Para ajudar a reconhecer se um número é divisor de outro existem os critérios de divisibilidade. Conheça alguns a seguir.

Divisibilidade por 2: todo número par, ou seja, terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 possuem o 2 como divisor.

Exemplos:

20 : 2 = 10
32 : 2 = 16
44 : 2 = 22
56 : 2 = 28
68 : 2 = 34

Divisibilidade por 3: se a soma dos algarismos de um número é divisível por 3, então 3 é divisor do número.

Exemplos:

120 : 3 = 40 ( 1+2+0 = 3, que é divisível por 3)
2451 : 3 = 817 (2+4+5+1 = 12, que é divisível por 3)
65283 : 3 = 21761 (6+5+2+8+3 = 24, que é divisível por 3)

Divisibilidade por 5: os números que apresentam 0 ou 5 no algarismo das unidades possuem o 5 como divisor.

Exemplos:

100 : 5 = 20
135 : 5 = 27
205 : 5 = 41

Divisibilidade por 9: se a soma dos algarismos de um número é divisível por 9, então 9 é divisor do número.

Exemplos:

63 : 9 = 7 ( 6+3 = 9, que é divisível por 9)
12654 : 9 = 1406 (1+2+6+5+4 = 18, que é divisível por 9)
42597 : 9 = 4733 (4+2+5+9+7 = 27, que é divisível por 9)

Exercícios sobre múltiplos e divisores

Exercício 1

Considerando os números naturais do 2 ao 10 escreva dentre estes os divisores de:

a) 36

b) 45

c) 120

d) 42

Ver Resposta

a) D(38)={2, 3, 4, 6, 9}

b) D(45)={3, 5, 9}

c) D(120)={2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

d) D(42)={2, 6, 7}

Exercício 2

Utilizando os critérios de divisibilidade, complete com o menor valor possível a ordem das unidades, para que o número formado seja divisível por:

$4 espaço 7 espaço reto U$

a) 2

b) 3

c) 5

d) 9

e) 10

Ver Resposta

a) 0. Para ser divisível por 2 basta ser par.

b) 1. Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve ser múltiplo de 3. Como 4 + 7 = 11, o próximo múltiplo de 3 é o 12, sendo necessário somar uma unidade.

c) 0. Para ser divisível por 5 o algarismo das unidades deve ser 0 ou 5.

d) 7. Para ser divisível por 9, a soma dos algarismos deve ser múltiplo de 9. Como 4 + 7 = 11, o próximo múltiplo de 9 é o 18, sendo necessário somar 7.

e) 0. Para ser divisível por 10, o algarismo das unidades deve ser o 0.

Exercício 3

Há quantos múltiplos de 3 compreendidos entre 91 e 152?

Ver Resposta

Após 91, o próximo número divisível por 3 é o 93 pois, 9 + 3 = 12, que é múltiplo de 3.

Antes do 152, o antecessor múltiplo de 3 é o 150, pois 1 + 5+ 0 = 6, que é múltiplo de 3.

Do 93 ao 150 temos: 150 - 93 = 57

Fazendo 57 / 3 = 19

Como na soma temos que considerar o 93, temos 20 múltiplos de 3 compreendidos entre 91 e 152.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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