Potenciação e radiciação

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A potenciação expressa um número na forma de potência. Quando um mesmo número é multiplicado diversas vezes, podemos fazer a substituição por uma base (número que se repete) elevada a um expoente (número de repetições).

Por outro lado, a radiciação é a operação oposta da potenciação. Ao elevar um número ao expoente e extrairmos a sua raiz, voltamos ao número inicial.

Veja um exemplo de como ocorrem os dois processos matemáticos.

Potenciação	Radiciação
$5 ao quadrado espaço igual a espaço 5 espaço. espaço 5 espaço igual a espaço 25$	$índice radical espaço em branco de 25 espaço igual a índice radical espaço em branco de 5 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 5$

Potenciação

Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida números muito grandes, onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se repetem.

Representação: $tabela linha com blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank linha com blank célula com espaço espaço espaço espaço negrito espaço negrito a à potência de negrito n fim da célula seta para a direita célula com número espaço de espaço fatores fim da célula blank linha com célula com fator espaço que espaço se espaço repete fim da célula seta para baixo com canto para a esquerda blank blank blank linha com blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank fim da tabela$

Exemplo I: potenciação de números naturais

$2 espaço. espaço 2 espaço. espaço 2 espaço igual a espaço 2 ao cubo espaço igual a espaço 8$

Para essa situação, temos: dois (2) é a base, três (3) é o expoente e o resultado da operação, oito (8), é a potência.

Exemplo II: potenciação de números fracionários

$abre parênteses 2 sobre 4 fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 2 sobre 4.2 sobre 4 espaço igual a espaço 4 sobre 16$

Quando uma fração é elevada a um expoente, seus dois termos, numerador e denominador, são multiplicados pela potência.

Lembre-se!

Todo número natural elevado à primeira potência tem como resultado ele mesmo, por exemplo, $3 à potência de 1 espaço igual a espaço 3$ .
Todo número natural não nulo quando elevado a zero tem como resultado 1, por exemplo, $4 à potência de 0 espaço igual a espaço 1$ .
Todo número negativo elevado a um expoente par tem resultado positivo, por exemplo, $parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado espaço igual a 4$ .
Todo número negativo elevado a um expoente ímpar tem resultado negativo, por exemplo, $abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao cubo espaço igual a espaço menos 8$ .
Toda base inteira elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
$2 à potência de menos 1 fim do exponencial igual a 1 sobre 2 à potência de 1$ .
Toda base fracionária elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
$abre parênteses 2 sobre 3 fecha parênteses à potência de menos 4 fim do exponencial igual a espaço abre parênteses 3 sobre 2 fecha parênteses à potência de 4$ .

Propriedades da potenciação

1. Produto de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e somam-se os expoentes.

$reto a à potência de reto m espaço. espaço reto a à potência de reto n espaço igual a espaço reto a à potência de reto m espaço mais espaço reto n fim do exponencial$

Exemplo: $2 ao cubo espaço. espaço 2 ao quadrado espaço igual a espaço 2 à potência de 3 espaço mais espaço 2 fim do exponencial igual a espaço 2 à potência de 5 espaço igual a espaço 32$

2. Divisão de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

$reto a à potência de reto m espaço dois pontos espaço reto a à potência de reto n espaço igual a espaço reto a à potência de reto m espaço menos espaço reto n fim do exponencial$

Exemplo: $2 ao cubo espaço dois pontos espaço 2 ao quadrado espaço igual a espaço 2 à potência de 3 espaço menos espaço 2 fim do exponencial igual a espaço 2 à potência de 1 espaço igual a espaço 2$

3. Potência de potência

Definição: mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

$abre parênteses reto a à potência de reto m fecha parênteses à potência de reto n espaço igual a espaço reto a à potência de reto m espaço. espaço reto n fim do exponencial$

Exemplo: $Error converting from MathML to accessible text.$

4. Distributiva em relação à multiplicação

Definição: multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

$reto a à potência de reto n espaço. espaço reto b à potência de reto n espaço. espaço reto c à potência de reto n espaço igual a espaço abre parênteses reto a espaço. espaço reto b espaço. espaço reto c fecha parênteses à potência de reto n$

Exemplo: $2 ao quadrado.3 ao quadrado.4 ao quadrado espaço igual a parêntese esquerdo 2.3.4 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 24 à potência de 2 fim do exponencial espaço igual a espaço 576$

5. Distributiva em relação à divisão

Definição: dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

$reto a à potência de reto n sobre reto b à potência de reto n igual a abre parênteses reto a sobre reto b fecha parênteses à potência de reto n$

Exemplo: $2 ao quadrado sobre 3 à potência de espaço em branco ao quadrado fim do exponencial igual a abre parênteses 2 sobre 3 fecha parênteses ao quadrado igual a numerador 2.2 sobre denominador 3.3 fim da fração igual a 4 sobre 9$

Saiba mais sobre:

Radiciação

A radiciação calcula o número que elevado a determinado expoente produz o resultado inverso da potenciação.

Representação: $tabela linha com blank blank radical blank blank blank linha com blank blank seta para baixo blank blank blank linha com índice seta para a direita célula com reto n enésima raiz de reto x espaço espaço fim da célula célula com igual a espaço reto y fim da célula seta para a esquerda raiz linha com blank blank seta para cima blank blank blank linha com blank blank radicando blank blank blank fim da tabela$

Exemplo I: radiciação de números naturais.

$cúbica raiz de 8 espaço igual a cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz espaço igual a espaço 2$

Para essa situação, temos: três (3) é o índice, oito (8) é o radicando e o resultado da operação, dois (2), é a raiz.

Exemplo II: radiciação de números fracionários.

$raiz quadrada de 4 sobre 16 fim da raiz espaço igual a espaço 2 sobre 4$ , pois $abre parênteses 2 sobre 4 fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 4 sobre 16$

A radiciação também pode ser aplicada às frações, de modo que o numerador e o denominador tenham suas raízes extraídas.

Saiba sobre a Radiciação.

Propriedades da radiciação

Propriedade I: raiz para potência com expoente fracionário. O denominador do expoente é o índice da potência.

$reto n enésima raiz de reto a à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço reto a à potência de tipográfico reto m sobre reto n fim do exponencial$

Exemplo: $índice radical espaço em branco de 7 espaço igual a 7 à potência de tipográfico 1 meio fim do exponencial$

Propriedade II: O radicando pode ser fatorado e expresso com expoente igual ao do índice. Após a simplificação, o resultado é a base do radicando.

$reto n enésima raiz de reto a à potência de reto n fim da raiz espaço igual a reto a$

Exemplo: $cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz espaço igual a 2$

Propriedade III: ao multiplicar o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo valor, o resultado não se altera.

$reto n enésima raiz de reto a à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço índice radical reto n. reto p de reto a à potência de reto m. reto p fim do exponencial fim da raiz$

Exemplo: $índice radical espaço em branco de 2 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 2.3 de 2 à potência de 4.3 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a índice radical 6 de 2 à potência de 12 fim da raiz espaço igual a índice radical 6 de 4096 espaço igual a espaço 4$

Propriedade IV: ao multiplicar raízes com mesmo índice devemos mantê-lo, multiplicando os radicais.

$reto n enésima raiz de reto a. reto n enésima raiz de reto b espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto a. reto b fim da raiz$

Exemplo: $índice radical espaço em branco de 9. índice radical espaço em branco de 16 espaço igual a índice radical espaço em branco de 9.16 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical espaço em branco de 144 espaço igual a 12$

Propriedade V: uma raiz de uma fração é igual à raiz do numerador dividido pela raiz do denominador, com os mesmos índices.

$reto n enésima raiz de reto a sobre reto b fim da raiz igual a numerador reto n enésima raiz de reto a sobre denominador reto n enésima raiz de reto b fim da fração$ , sendo b $não igual$ 0

Exemplo: $índice radical espaço em branco de 4 sobre 9 fim da raiz igual a numerador índice radical espaço em branco de 4 sobre denominador índice radical espaço em branco de 9 fim da fração igual a 2 sobre 3$

Propriedade VI: uma potência de uma raiz é igual a mesma raiz com o radicando elevado ao expoente da potência.

$abre parênteses reto n enésima raiz de reto a fecha parênteses à potência de reto m espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto a à potência de reto m fim da raiz$

Exemplo: $abre parênteses índice radical espaço em branco de 4 fecha parênteses à potência de 4 espaço igual a espaço índice radical espaço em branco de 4 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a índice radical espaço em branco de 256 espaço igual a 16$

Propriedade VII: raiz de raiz. Mantém-se o radical e multiplicam-se os índices.

$reto n enésima raiz de reto m enésima raiz de reto a fim da raiz espaço igual a espaço índice radical reto n. reto m de reto a$

Exemplo: $cúbica raiz de quadrada raiz de 4096 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 3.2 de 4096 espaço igual a espaço índice radical 6 de 4096 espaço igual a espaço 4$

Você também pode se interessar por Racionalização de denominadores.

Exercícios resolvidos de potenciação e radiciação

Questão 1

Aplique as propriedades da potenciação e radiciação pra resolver as expressões a seguir.

a) 4⁵, sabendo que 4⁴ = 256.

Ver Resposta

Resposta correta: 1024.

Pelo produto de potências de mesma base $reto a à potência de reto m espaço. espaço reto a à potência de reto n espaço igual a espaço reto a à potência de reto m espaço mais espaço reto n fim do exponencial$ .

Logo, $4 à potência de 5 espaço igual a 4 à potência de 4 mais 1 fim do exponencial igual a espaço 4 à potência de 4 espaço. espaço 4 à potência de 1$

Resolvendo a potência, temos:

$4 à potência de 4 espaço. espaço 4 à potência de 1 256 espaço. espaço 4 1024$

b) $raiz quadrada de 4 espaço. espaço 25 fim da raiz$

Ver Resposta

Resposta correta: 10.

Utilizando a propriedade $reto n enésima raiz de reto a à potência de reto n fim da raiz espaço igual a reto a$ , temos que:

$raiz quadrada de 4 espaço. espaço 25 fim da raiz raiz quadrada de 2 ao quadrado espaço. espaço 5 ao quadrado fim da raiz 2 espaço. espaço 5 espaço 10$

c) $2 ao quadrado espaço mais espaço raiz quadrada de 81 espaço dois pontos espaço 3 ao quadrado$

Ver Resposta

Resposta correta: 5.

Utilizando a propriedade da radiciação $reto n enésima raiz de reto a à potência de reto n fim da raiz espaço igual a reto a$ e a propriedade da potenciação $reto a à potência de reto m espaço dois pontos espaço reto a à potência de reto n espaço igual a espaço reto a à potência de reto m espaço menos espaço reto n fim do exponencial$ , encontramos o resultado da seguinte forma:

$2 ao quadrado espaço mais espaço raiz quadrada de 81 espaço dois pontos espaço 3 ao quadrado 2 ao quadrado espaço mais espaço raiz quadrada de 9 ao quadrado fim da raiz espaço dois pontos espaço 3 ao quadrado 2 ao quadrado espaço mais espaço 9 espaço dois pontos espaço 3 ao quadrado 2 ao quadrado espaço mais espaço 3 ao quadrado espaço dois pontos espaço 3 ao quadrado 2 ao quadrado espaço mais espaço 3 à potência de 2 menos 2 fim do exponencial 2 ao quadrado espaço mais espaço 3 à potência de 0 4 espaço mais espaço 1 5$

Veja também: Simplificação de Radicais

Questão 2

Se $2 espaço mais espaço raiz quadrada de reto n espaço igual a espaço 6$ , calcule qual o valor de n.

Ver Resposta

Resposta correta: 16.

1º passo: isolar a raiz em um lado da equação.

$2 espaço mais espaço raiz quadrada de reto n espaço igual a espaço 6 raiz quadrada de reto n espaço espaço igual a espaço 6 espaço menos 2 raiz quadrada de reto n espaço espaço igual a 4$

2º passo: eliminar a raiz e encontrar o valor de n utilizando as propriedades da radiciação.

Sabendo que $abre parênteses reto n enésima raiz de reto a fecha parênteses à potência de reto m espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto a à potência de reto m fim da raiz$ podemos elevar os dois membros da equação ao quadrado e, assim, eliminar a raiz, pois $abre parênteses quadrada raiz de reto a fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço quadrada raiz de reto a ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço reto a$ .

Calculamos o valor de n e encontramos o resultado 16.

$abre parênteses raiz quadrada de reto n fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 4 ao quadrado reto n espaço igual a espaço 16$

Para mais questões, veja também Exercícios de Radiciação.

Questão 3

(Fatec) Das três sentenças abaixo:

$reto I. espaço 2 à potência de reto x mais 3 fim do exponencial espaço igual a espaço 2 à potência de reto x espaço. espaço 2 ao cubo espaço II. espaço parêntese esquerdo 25 parêntese direito à potência de reto x espaço igual a espaço 5 à potência de 2 reto x espaço fim do exponencial III. espaço 2 à potência de reto x espaço mais espaço 3 à potência de reto x espaço fim do exponencial igual a espaço 5 à potência de reto x$

a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.

Ver Resposta

Alternativa correta: e) somente a III é falsa.

I. VERDADEIRA. Trata-se do produto de potências de mesma base, sendo assim, é possível repetir a base e somar os expoentes.

II. VERDADEIRA. (25)^x também pode ser representado por (5²)^x e, por se tratar de uma potência de potência, os expoentes podem ser multiplicados gerando 5^2x.

III. ERRADA. A sentença verdadeira seria 2x + 3x = 5x.

Para compreender melhor, experimente substituir x por um valor e observe os resultados.

Exemplo: x = 2.

$reto I. espaço 2 à potência de 2 mais 3 fim do exponencial espaço igual a espaço 2 ao quadrado espaço. espaço 2 ao cubo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 à potência de 5 espaço igual a espaço 4 espaço. espaço 8 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 32 espaço igual a espaço 32 II. espaço parêntese esquerdo 25 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 5 à potência de 4 espaço fim do exponencial espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 625 espaço igual a espaço 625 III. espaço 2 à potência de reto x espaço mais espaço 3 à potência de reto x espaço fim do exponencial igual a espaço 5 à potência de reto x espaço espaço espaço espaço espaço 2 ao quadrado espaço mais espaço 3 à potência de 2 espaço fim do exponencial igual a espaço 5 ao quadrado espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 4 espaço mais espaço 9 espaço igual a espaço 25 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 13 espaço não igual espaço 25$

Veja também: Exercícios sobre Simplificação de Radicais

Questão 4

(PUC-Rio) Simplificando a expressão $2 vezes numerador parêntese esquerdo 3 à potência de 6 mais 3 à potência de 5 parêntese direito sobre denominador 3 à potência de 4 menos 3 ao cubo fim da fração$ , encontramos:

a) 12
b) 13
c) 3
d) 36
e) 1

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 36.

1º passo: reescrever os números para que apareçam potências iguais.

Lembre-se: um número elevado a 1 tem como resultado ele mesmo. Já um número elevado a 0 apresenta resultado 1.

Utilizando a propriedade de produto de potências de mesma base podemos reescrever os números, pois seus expoentes quando somados retornam ao número inicial.

$2 vezes numerador parêntese esquerdo 3 à potência de 6 mais 3 à potência de 5 parêntese direito sobre denominador 3 à potência de 4 menos 3 ao cubo fim da fração 2 vezes numerador parêntese esquerdo 3 à potência de 5.3 à potência de 1 mais 3 à potência de 5.3 à potência de 0 parêntese direito sobre denominador 3 ao cubo.3 à potência de 1 menos 3 ao cubo.3 à potência de 0 fim da fração$

2º passo: colocar em evidência os termos que se repetem.

$2 vezes numerador 3 à potência de 5 parêntese esquerdo 3 à potência de 1 mais 3 à potência de 0 parêntese direito sobre denominador 3 ao cubo parêntese esquerdo 3 à potência de 1 menos 3 à potência de 0 parêntese direito fim da fração$

3º passo: resolver o que está dentro dos parêntesis.

$2 vezes numerador 3 à potência de 5 parêntese esquerdo 3 mais 1 parêntese direito sobre denominador 3 ao cubo parêntese esquerdo 3 menos 1 parêntese direito fim da fração 2 vezes numerador 3 à potência de 5. espaço 4 sobre denominador 3 ao cubo. espaço 2 fim da fração numerador 2 espaço. espaço 4 sobre denominador 2 fim da fração.3 à potência de 5 sobre 3 ao cubo 8 sobre 2.3 à potência de 5 sobre 3 ao cubo 4 espaço. espaço 3 à potência de 5 sobre 3 ao cubo$

4º passo: resolver a divisão de potências e calcular o resultado.

Lembre-se: na divisão de potências de mesma base devemos subtrair os expoentes.

$4 espaço. espaço 3 à potência de 5 espaço menos espaço 3 fim do exponencial 4 espaço. espaço 3 ao quadrado 4 espaço. espaço 9 36$

Para mais questões, veja também

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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