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Quais são os Fundamentos da Matemática (com exercício)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os fundamentos da matemática são os conceitos básicos que sustentam todo o desenvolvimento dessa ciência, considerada uma das mais antigas e essenciais para o progresso humano.

A matemática está presente em diversas áreas do conhecimento, como física, economia e biologia, além de ser indispensável para resolver problemas do cotidiano. Mas quais são os pilares que formam a base dessa ciência tão ampla e poderosa?

Entre seus principais fundamentos estão:

Números e Quantidades: Relacionam-se aos aspectos numéricos da matemática, englobando a representação, medição e manipulação de valores.
Operações e Estruturas: Incluem as operações fundamentais, como adição e subtração, e a organização entre objetos matemáticos, como grupos, anéis e corpos.
Variações: Tratam das mudanças nas quantidades e das relações entre valores em transformação, abordadas em áreas como cálculo e equações diferenciais.
Padrões: Buscam identificar regularidades e sequências em números, formas e fenômenos.

Esses fundamentos oferecem a base necessária para desenvolver e compreender conceitos matemáticos mais avançados. Sem eles, seria impossível assimilar ideias matemáticas mais complexas e aplicá-las de forma prática.

Números

Os números são os elementos básicos da matemática. Eles surgiram da necessidade humana de contar e medir. Ao longo da história, diferentes conjuntos numéricos foram desenvolvidos:

Números Naturais (ℕ): Utilizados para contagem (1, 2, 3, 4, ...). Alguns matemáticos incluem o zero neste conjunto.

Números Inteiros (ℤ): Incluem os números naturais, seus opostos (negativos) e o zero (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Números Racionais (ℚ): São números que podem ser expressos como a razão de dois inteiros (com denominador não nulo). Exemplos: 1/2, 3/4, -5/3.

Números Irracionais (I): Números que não podem ser expressos como fração de inteiros. Exemplos: π, √2, e.

Números Reais (ℝ): União dos números racionais e irracionais, representando todos os pontos em uma reta numérica.

Números Complexos (ℂ): Estendem os números reais, incluindo a unidade imaginária i (onde i² = -1).

As relações entre os conjuntos numéricos pode ser visualizada com um diagrama:

Conjuntos numéricos

Para mais sobre os números:

Operações

As operações básicas, como adição e subtração, são ferramentas fundamentais para manipular números. Elas permitem combinar quantidades (adição) ou remover uma quantidade de outra (subtração).

Operações Fundamentais

Adição (+): Combina dois números para obter sua soma.

Para adicionar dois números, pode-se utilizar o algorítimo a seguir:

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row D U end row 23 row mais 56 end row horizontal line 79 end stack$

Os algarismos são organizados em colunas com suas ordens e somados.

Subtração (-): Encontra a diferença entre dois números.

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes stack attributes charalign center stackalign right end attributes stack attributes charalign center stackalign right end attributes row D U end row 45 row menos 12 end row horizontal line 33 end stack end stack end stack$

Como na adição, a operação é facilitada ao organizar os números e subtrair ordem por ordem.

Aprenda mais sobre adição e subtração:

Operações Derivadas

Adição e subtração são a base para operações mais complexas, como: multiplicação, divisão, potenciação e radiciação e são essenciais no cotidiano, como em cálculos financeiros ou medições.

Multiplicação (×): Combina dois números por adições repetidas.

Exemplo: 2 x 3 = 6, ou seja, 3 + 3 = 6.

Divisão (÷): Distribui uma quantidade em partes iguais.

Exemplo: $15 dividido por 3 igual a 5$ , ou seja, três partes de 5.

Potenciação: Multiplica um número (base) por si um determinado número de vezes (expoente).

Exemplo: $2 ao cubo igual a 2 espaço x espaço 2 espaço x espaço 2 espaço igual a espaço 8$ .

Radiciação: Operação inversa da potenciação, encontrando a raiz de um número.

Exemplo: $raiz quadrada de 9 igual a 3$ , pois 3 x 3 = 9.

Logaritmação: Determina o expoente ao qual uma base deve ser elevada para obter um determinado número.

$3 igual a Log com 2 subscrito espaço 8$ , por ser o expoente de uma potência de base dois que gera o 8, veja: $2 ao cubo igual a 8$ .

Aprenda mais sobre as operações:

Estruturas Algébricas

As estruturas algébricas surgem quando começamos a usar símbolos (como letras) para representar números e relações. Isso é a base da álgebra.

Exemplos incluem equações (ex.: 2x + 3 = 7) e expressões matemáticas que ajudam a generalizar problemas.

As estruturas algébricas permitem resolver problemas abstratos, sendo fundamentais em áreas como ciência da computação e engenharia.

Estas estruturas se organizam em conjuntos com operações que satisfazem certas propriedades:

Grupos: Conjuntos com uma operação que satisfaz as propriedades de fechamento, associatividade, elemento neutro e elemento inverso.

Anéis: Conjuntos com duas operações (adição e multiplicação), onde o conjunto forma um grupo com a adição e a multiplicação é associativa e distribui sobre a adição.

Corpos: Anéis onde a multiplicação forma um grupo (excluindo o zero).

Espaços Vetoriais: Conjuntos com operações de adição e multiplicação por escalar que satisfazem certas propriedades.

Veja mais em:

Geometria

A geometria estuda as formas, tamanhos e posições no espaço. Ela é essencial para entender o mundo físico ao nosso redor.

Inclui conceitos como pontos, linhas, ângulos, figuras geométricas (triângulos, círculos, quadrados) e propriedades como área e volume.

É amplamente usada em áreas como arquitetura, design e até na criação de jogos digitais.

O estudo da geometria se organiza de forma didática como:

Geometria Euclidiana: Baseada nos postulados de Euclides, estuda figuras em espaços planos e tridimensionais.

Geometria Analítica: Combina álgebra e geometria, utilizando coordenadas para descrever formas geométricas.

Geometria Não-Euclidiana: Inclui geometrias que negam o postulado das paralelas de Euclides, como a geometria hiperbólica e a elíptica.

Topologia: Estuda propriedades que se mantêm sob deformações contínuas.

Para mais sobre geometria:

Lógica Matemática

A lógica matemática é o estudo das regras que governam o raciocínio e as demonstrações matemáticas. Ela garante que os resultados sejam consistentes e verdadeiros.

Inclui conceitos como proposições, conectivos lógicos (e, ou, não) e demonstrações (provas).

A lógica é a base para o desenvolvimento de teorias matemáticas e também é essencial na programação de computadores.

Lógica Proposicional: Estuda proposições e suas relações por conectivos lógicos (e, ou, não, se... então, se e somente se).

Lógica de Predicados: Estende a lógica proposicional, permitindo analisar a estrutura interna das proposições.

Teoria dos Conjuntos: Fornece uma base para a matemática moderna, estudando coleções de objetos e suas propriedades.

Método Axiomático: Abordagem onde teorias matemáticas são construídas a partir de axiomas (verdades assumidas) e regras de inferência.

Veja mais em:

Exercício

Questão 1

Sobre os conjuntos numéricos, assinale a alternativa correta:

a) Todo número irracional é também racional.

b) O conjunto dos números naturais contém o zero e todos os inteiros, positivos e negativos.

c) A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais.

d) π é um exemplo de número racional, pois pode ser aproximado por frações.

Questão 2

O que é uma lógica matemática estudada?

a) As propriedades de figuras geométricas.

b) As regras do raciocínio e das previsões.

c) A história dos números.

d) Operações de multiplicação e divisão.

Questão 3

Em relação à lógica matemática e suas aplicações, é correto afirmar que:

a) A negação de "Todos os triângulos são equiláteros" é "Nenhum triângulo é equilátero".

b) Na lógica proposicional, a implicação "p → q" é falsa apenas quando p é verdadeiro e q é falso.

c) A teoria dos conjuntos não tem relação com os fundamentos da matemática.

d) Dois conectivos lógicos são suficientes para expressar todos os outros conectivos da lógica proposicional.

Aplicação no Currículo Escolar

Os fundamentos da matemática são introduzidos gradualmente ao longo da educação básica:

Ensino Fundamental I (1º ao 5º ano): Números naturais, operações básicas, introdução à geometria.
Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano): Números inteiros e racionais, álgebra básica, geometria plana.
Ensino Médio (1º ao 3º ano): Números reais e complexos, funções, geometria espacial, introdução à lógica.

Este conteúdo, de forma abrangente, é principalmente abordado no Ensino Médio, embora seus elementos sejam construídos ao longo de toda a educação básica. Ainda, há tópicos abordados em cursos específicos no ensino superior.

Aprenda também sobre os Símbolos matemáticos.

Você pode se interessar por praticar exercícios de Matemática Básica.

Referências Bibliográficas

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2019.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 2015.

MORGADO, Augusto César; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Matemática Discreta. Rio de Janeiro: SBM, 2015.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2018.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.