Racionalização de Denominadores: como fazer e exemplos
A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.
Utilizamos essa técnica, pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.
Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.
Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.
Conjugado de um número
O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.
Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual à própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.
Exemplo 1
Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.
Resolução
O conjugado da 
é a própria , pois 
Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.
Exemplo 2
Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?
Resolução
Para encontrar o conjugado de 
, não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.
Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:
Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).
Algumas vezes, pode aparecer uma soma no denominador ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.
Exemplo 3
Qual o conjugado de 
?
Resolução
O conjugado será igual a 
, pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:
Para saber mais, veja também:
Racionalização de denominadores
Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:
- Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
- Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
- Simplificar a fração equivalente encontrada.
Tire suas dúvidas sobre frações.
Exemplo 1
A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a 
, encontre o valor da sua altura.
Resolução
A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:
Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, racionalizaremos essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.
Então, multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por esse valor:
Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:
Exemplo 2
Racionalize a fração 
Resolução
Começaremos encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.
Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.
O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.
Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:
Exercícios sobre racionalização
Exercício 1
IFCE - 2017
Aproximando os valores de 
e 
até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de 
até a segunda casa decimal, obtemos
a) 1,98.
b) 0,96.
c) 3,96.
d) 0,48.
e) 0,25.
Exercício 2
EPCAR - 2015
O valor da soma 
é um número
a) natural menor que 10
b) natural maior que 10
c) racional não inteiro.
d) irracional.
irá se cancelar com a próxima 
da sequência, e assim por diante.
se cancelará com sua positiva, vindo logo antes. Assim, sobrará apenas 
, pois a sequência acaba, não havendo sua negativa para o cancelamento.
Veja a resolução comentada destas e de outras questões em:
- Exercícios de Radiciação
- Exercícios de Potenciação
- Exercícios sobre simplificação de radicais
- Simplificação de radicais: como fazer e exercícios
ASTH, Rafael. Racionalização de Denominadores: como fazer e exemplos. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/racionalizacao-de-denominadores/. Acesso em:
