Cálculo da Raiz Quadrada

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real elevado ao quadrado (x²). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (x³).

Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (x⁴) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (x⁵) é raiz quinta.

Como calcular a raiz quadrada?

Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.

No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.

Quanto é a raiz quadrada de √2704?

Cálculo da Raiz Quadrada

Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.

No exemplo acima, temos $raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.13 ao quadrado fim da raiz igual a 52$

Portanto, a √2704 é 52.

Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:

Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: $raiz quadrada de 16 espaço igual a espaço 4 ponto e vírgula espaço raiz quadrada de 25 igual a espaço 5 espaço reto e espaço raiz quadrada de 75 vírgula 69 fim da raiz igual a espaço 8 vírgula 7$ .
Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo: $raiz quadrada de 3 espaço igual a 1 vírgula 732 espaço 050 espaço 8... ponto e vírgula espaço raiz quadrada de 5 igual a espaço 2 vírgula 236 espaço 067 espaço 9... espaço reto e espaço raiz quadrada de 6 espaço igual a espaço 2 vírgula 449 espaço 489 espaço 7...$

Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.

Exemplos:

49 é o quadrado perfeito de 7, pois $raiz quadrada de 49 espaço igual a espaço 7 espaço seta dupla para a direita espaço 7 ao quadrado espaço igual a espaço 49$
144 é o quadrado perfeito de 12, pois $raiz quadrada de 144 espaço igual a espaço 12 espaço seta dupla para a direita espaço 12 ao quadrado espaço igual a espaço 144$
256 é o quadrado perfeito de 16, pois $raiz quadrada de 256 espaço igual a espaço 16 espaço seta dupla para a direita espaço 16 ao quadrado espaço igual a espaço 256$

Exemplos

Raiz Quadrada de 2

√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 3

√3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 5

√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 8

√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 9

√9 = 3 (pois 3² é igual a 9)

Raiz Quadrada de 25

√25 = 5 (pois 5² é igual a 25)

Raiz Quadrada de 36

√36 = 6 (pois 6² é igual a 36)

Raiz Quadrada de 49

√49 = 7 (pois 7² é igual a 49)

Raiz Quadrada de 64

√64 = 8 (pois 8² é igual a 64)

Raiz Quadrada de 100

√100 = 10 (pois 10² é igual a 100)

Raiz Quadrada de 144

√144 = 12 (pois 12² é igual a 144)

Raiz Quadrada de 196

√196 = 14 (pois 14² é igual a 196)

Raiz Quadrada de 400

√400 = 20 (pois 20² é igual a 400)

Exercícios resolvidos com raiz quadrada

Questão 1

(UFPI) Desenvolvendo a expressão (²√27 + ²√3 – 1)²encontramos um número no formato a + b ²√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:

a) 59
b) 47
c) 41
d) 57
e) 1

Ver Resposta

Alternativa correta: c) 41.

Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.

$tabela linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela$

3.3.3 = 3³= 3.3²

Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.

$reto a enésima raiz de reto x à potência de reto a fim da raiz espaço igual a espaço reto x$

Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.3² para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.

$parêntese esquerdo quadrada raiz de 27 espaço mais espaço quadrada raiz de 3 espaço – espaço 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo quadrada raiz de 3.3 ao quadrado fim da raiz espaço mais espaço quadrada raiz de 3 espaço – espaço 1 parêntese direito ao quadrado igual a espaço parêntese esquerdo 3 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço quadrada raiz de 3 espaço – espaço 1 parêntese direito ao quadrado$

Observe que o termo $quadrada raiz de 3$ se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.

$parêntese esquerdo 3 quadrada raiz de 3 espaço fim da raiz mais espaço quadrada raiz de 3 espaço fim da raiz espaço – espaço 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo quadrada raiz de 3 espaço fim da raiz. parêntese esquerdo 3 mais 1 parêntese direito espaço – espaço 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 4 quadrada raiz de 3 espaço fim da raiz espaço menos espaço 1 parêntese direito ao quadrado$

Agora, vamos resolver a expressão.

$abre parênteses 4 quadrada raiz de 3 espaço menos espaço 1 fecha parênteses abre parênteses 4 quadrada raiz de 3 espaço menos espaço 1 fecha parênteses espaço igual a espaço 4 quadrada raiz de 3.4 quadrada raiz de 3 espaço menos espaço 1.4 quadrada raiz de 3 espaço menos espaço 1.4 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço 1 ao quadrado espaço igual a 4.4. quadrada raiz de 3.3 fim da raiz espaço menos espaço 4 quadrada raiz de 3 espaço menos espaço 4 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço 1 espaço igual a 16 quadrada raiz de 9 espaço menos espaço 2.4 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço 1 espaço igual a 16.3 espaço menos espaço 8 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço 1 espaço igual a 48 espaço menos espaço 8 quadrada raiz de 3 espaço mais espaço 1 espaço igual a 49 espaço menos espaço 8 quadrada raiz de 3 espaço$

Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é:

49 + (– 8) = 41

Portanto, a alternativa correta é c) 41.

Questão 2

(UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

I. $numerador 3 raiz quadrada de 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3 raiz quadrada de 2$

II. $abre parênteses 2 raiz quadrada de 3 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 fim da fração$

III. $abre parênteses 2 à potência de 4 fecha parênteses à potência de 1 meio fim do exponencial igual a 2 raiz quadrada de 2$

É (são) verdadeira(s), somente:

a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.

Ver Resposta

Alternativa correta: b) II.

I. ERRADA. A resposta correta é $3 raiz quadrada de 3$ .

$numerador 3 raiz quadrada de 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 3 raiz quadrada de 2 ao quadrado.3 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 3.2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3 raiz quadrada de 3$

II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração.

$abre parênteses 2 raiz quadrada de 3 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial igual a numerador 1 sobre denominador 2 raiz quadrada de 3 fim da fração numerador 1 sobre denominador 2 raiz quadrada de 3 fim da fração. numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2.2 raiz quadrada de 3.3 fim da raiz fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 raiz quadrada de 9 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4.3 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 12 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 fim da fração$

III. ERRADA. A resposta correta é 4.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Questão 3

(UFRGS) A expressão é igual a:

a) √2 + 3√3/4√2
b) 5√2
c) √3
d) 8√2
e) 1

Ver Resposta

Alternativa correta: e) 1.

1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.

324	64	50	18
$tabela linha com 324 linha com 162 linha com 81 linha com 27 linha com 9 linha com 3 linha com 1 linha com blank fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com 3 linha com célula com espaço espaço 2 ao quadrado espaço. espaço 3 à potência de 4 espaço em moldura superior fecha moldura espaço fim da célula linha com espaço fim da tabela$	$tabela linha com 64 linha com 32 linha com 16 linha com 8 linha com 4 linha com 2 linha com 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com célula com espaço espaço 2 à potência de 6 espaço espaço em moldura superior fecha moldura espaço espaço fim da célula fim da tabela$	$tabela linha com 50 linha com 25 linha com 5 linha com 1 linha com blank fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 5 linha com 5 linha com célula com espaço espaço 2 espaço. espaço 5 ao quadrado espaço em moldura superior fecha moldura espaço fim da célula linha com espaço fim da tabela$	$tabela linha com 18 linha com 9 linha com 3 linha com 1 linha com blank fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com célula com espaço espaço 2 espaço. espaço 3 ao quadrado espaço em moldura superior fecha moldura espaço fim da célula linha com espaço fim da tabela$

2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.

$numerador 5 índice radical 12 de 64 espaço menos espaço raiz quadrada de 18 sobre denominador raiz quadrada de 50 espaço menos espaço quarta raiz de 324 fim da fração igual a numerador 5 índice radical 12 de 2 à potência de 6 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de 2.3 ao quadrado fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 2.5 ao quadrado fim da raiz espaço menos espaço quarta raiz de 2 ao quadrado.3 à potência de 4 fim da raiz fim da fração$

3º passo: simplificar a expressão.

De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.

$reto a enésima raiz de reto x à potência de reto a fim da raiz espaço igual a espaço reto x$

Efetuando essa operação na expressão, temos:

$numerador 5 índice radical 12 de 2 à potência de 6 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de 2.3 ao quadrado fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 2.5 ao quadrado fim da raiz espaço menos espaço quarta raiz de 2 ao quadrado.3 à potência de 4 fim da raiz fim da fração espaço igual a espaço numerador 5 índice radical 12 de 2 à potência de 6 fim da raiz espaço menos espaço 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 3 quarta raiz de 2 ao quadrado fim da raiz fim da fração$

Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.

$reto a enésima raiz de reto x à potência de reto y fim da raiz espaço igual a índice radical reto a dois pontos reto b de reto x à potência de reto y dois pontos reto b fim do exponencial fim da raiz espaço$

$numerador 5 índice radical 12 de 2 à potência de 6 fim da raiz espaço menos espaço 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 3 quarta raiz de 2 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 12 dois pontos 6 de 2 à potência de 6 dois pontos 6 fim do exponencial fim da raiz espaço menos espaço 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 3 índice radical 4 dois pontos 2 de 2 à potência de 2 dois pontos 2 fim do exponencial fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical espaço em branco de 2 espaço menos espaço 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 5 raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 3 índice radical espaço em branco de 2 fim da fração igual a 1$

Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1.

Símbolo da Raiz Quadrada

O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou ²√x.

Já da raiz cúbica é ³√y, da raiz quarta é ⁴√z e da raiz quinta é ⁵√t.

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Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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