Seno, Cosseno e Tangente

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.

De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

Nome dos lados de um triângulo retângulo

Seno (Sen $alfa$ )

É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

$s e n espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração$

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (Cos $alfa$ )

É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

$cos espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço a d j a c e n t e sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração$

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (Tg $alfa$ )

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

$t g espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração$

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

Relações Trigonométricas	30°	45°	60°
Seno	1/2	√2/2	√3/2
Cosseno	√3/2	√2/2	1/2
Tangente	√3/3	1	√3

Como Calcular as Razões Trigonométricas?

Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:

1) Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo $alfa$ do triângulo abaixo.

Solução

Para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas respectivas fórmulas.

Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. Assim, temos:

$s e n espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração igual a 5 sobre 13 s e n espaço alfa espaço aproximadamente igual 0 vírgula 384$

$cos espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço a d j a c e n t e sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração igual a 12 sobre 13 cos espaço alfa aproximadamente igual 0 vírgula 923$

$t g espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração igual a 5 sobre 12 t g espaço alfa aproximadamente igual 0 vírgula 416$

2) Determine o valor de x na figura abaixo.

Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.

De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:

$s e n espaço 45 º igual a x sobre 10 0 vírgula 7071 igual a x sobre 10 x igual a 0 vírgula 7071.10 x igual a 7 vírgula 071$

Portanto, o lado x mede 7,071 cm.

Seno, Cosseno e Tangente: desvende esse mistério! Ver no YouTube

Exercícios de Vestibular

1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Ver Resposta

A imagem abaixo representa a situação indicada no problema:

Pelo desenho, identificamos que a altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 30º e que a distância percorrida pelo avião é a medida da hipotenusa.

Assim, para encontrar o valor da altura usaremos a fórmula do seno, ou seja:

$s e n espaço 30 º igual a h sobre 1000 0 vírgula 5 igual a h sobre 1000 h igual a 0 vírgula 5. espaço 1000 h igual a 500 espaço m$

A altura do avião será de 500 metros.

2.(Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em $A B com conjunção lógica sobrescrito C$ e os segmentos $B D em moldura superior fecha moldura espaço e espaço A C em moldura superior fecha moldura$ são perpendiculares.

Assim, a medida do segmento $D C em moldura superior fecha moldura$ vale

$a parêntese direito espaço 10 raiz quadrada de 3 b parêntese direito espaço 6 raiz quadrada de 3 c parêntese direito espaço 15 sobre 2 d parêntese direito espaço 13 sobre 2$

Ver Resposta

Considerando que os triângulos ABC, ADB e BDC são retângulos, então o ângulo $A B com conjunção lógica sobrescrito D$ é igual a 30º. Com isso, o ângulo $D B com conjunção lógica sobrescrito C$ é igual a 60º, conforme imagem abaixo:

Assim, podemos calcular a medida do segmento $D C em moldura superior fecha moldura$ usando para isso a fórmula do seno.

$s e n espaço 60 º igual a numerador x sobre denominador 5 raiz quadrada de 3 fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador x sobre denominador 5 raiz quadrada de 3 fim da fração 2 x igual a 5. raiz quadrada de 3. raiz quadrada de 3 x igual a 15 sobre 2$

Alternativa: c) $15 sobre 2$

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