Simplificação de radicais: como fazer e exercícios

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A simplificação de radicais consiste na realização de operações matemáticas para escrever a raiz de maneira mais simples e equivalente ao radical.

Através disso, é possível que as expressões com esses termos sejam facilmente manipuladas.

Antes de mostrar os métodos de simplificação, relembre os termos de um radical.

$tabela linha com radical blank blank blank linha com seta para baixo blank blank blank linha com célula com índice radical índice seta para a direita reto n de espaço espaço espaço espaço reto x à potência de reto y seta para a esquerda expoente fim do exponencial fim da raiz espaço espaço fim da célula célula com igual a espaço reto z fim da célula seta para a esquerda raiz linha com seta para cima blank blank blank linha com radicando blank blank blank fim da tabela$

As simplificações podem ser feitas utilizando as propriedades dos radicais. Confira a seguir como cada propriedade pode te ajudar a realizar os cálculos.

1° caso: existência de um fator comum

Quando o índice do radical e o expoente do radicando apresentam um fator comum realizamos uma divisão desses dois termos pelo divisor em questão.

Como fazer: $reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço índice radical reto n dividido por reto p de reto x à potência de reto m dividido por reto p fim do exponencial fim da raiz$

Exemplos:

$índice radical 8 de 5 à potência de 6 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 8 dividido por 2 de 5 à potência de 6 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a quarta raiz de 5 ao cubo fim da raiz índice radical 6 de 7 à potência de 10 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 6 dividido por 2 de 7 à potência de 10 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a cúbica raiz de 7 à potência de 5 fim da raiz índice radical 10 de 3 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 10 dividido por 2 de 3 à potência de 4 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a quinta raiz de 3 ao quadrado fim da raiz$

2° caso: expoente igual ao índice

Quando o radicando apresenta o expoente igual ao índice do radical podemos retirar a sua base de dentro da raiz.

Como fazer: $reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n reto y fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz espaço. espaço reto n enésima raiz de reto y espaço fim da raiz igual a espaço reto x espaço reto n enésima raiz de reto y$

Exemplos:

$cúbica raiz de 8 espaço igual a espaço cúbica raiz de 2.2.2 fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz espaço igual a espaço 2 índice radical espaço em branco de 75 espaço igual a espaço raiz quadrada de 5.5.3 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado.3 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz. índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 3 raiz quadrada de 25 reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5.5. reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado. reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz. índice radical espaço em branco de reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 5 reto x$

3º caso: adição de um fator externo

Quando se deseja transformar uma expressão em apenas um radical, pode-se introduzir um fator externo no radicando. Para isso, o termo adicionado deve possuir o expoente com mesmo valor do índice.

Como fazer: $reto y espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de espaço em branco fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x espaço. espaço reto y à potência de reto n fim da raiz$

Exemplo:

$reto x cúbica raiz de reto x espaço igual a espaço cúbica raiz de reto x. reto x ao cubo fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de reto x à potência de 1 mais 4 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de reto x à potência de 4 fim da raiz$

4º caso: expressões com o mesmo radical

Quando uma expressão algébrica apresenta radicais semelhantes, pode-se simplificar a expressão reduzindo-a a um só termo.

Como fazer: $reto a índice radical espaço em branco de reto x espaço mais espaço reto b índice radical espaço em branco de reto x espaço menos espaço reto c índice radical espaço em branco de reto x espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto a espaço mais espaço reto b espaço menos espaço reto c parêntese direito índice radical espaço em branco de reto x$

Exemplo:

$10 índice radical espaço em branco de 3 espaço mais espaço 5 índice radical espaço em branco de 3 espaço menos espaço 11 índice radical espaço em branco de 3 espaço mais espaço índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço parêntese esquerdo 10 espaço mais espaço 5 espaço menos 11 espaço mais 1 parêntese direito índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço 5 índice radical espaço em branco de 3$

5º caso: radicais de mesmo índice em uma multiplicação

Quando dois radicais de mesmo índice são multiplicados, a simplificação pode ser feita transformando-os em um só radical e multiplicando-se os radicandos.

Como fazer: $reto n enésima raiz de reto x espaço. espaço reto n enésima raiz de reto y espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x. reto y fim da raiz espaço$

Exemplos:

$raiz quadrada de 2 espaço. espaço raiz quadrada de 7 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 espaço. espaço 7 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 14 2 índice radical espaço em branco de 6 espaço. espaço 5 índice radical espaço em branco de 2 espaço igual a espaço 2.5 índice radical espaço em branco de 6.2 fim da raiz espaço igual a espaço estreito 10 raiz quadrada de 12 espaço igual a espaço 10 raiz quadrada de 2 ao quadrado.3 fim da raiz igual a 10.2 raiz quadrada de 3 igual a 20 raiz quadrada de 3 quinta raiz de reto a ao cubo reto b fim da raiz espaço. espaço quinta raiz de reto a ao quadrado reto b fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a ao cubo. reto b. reto a ao quadrado. reto b fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a à potência de 3 mais 2 fim do exponencial. reto b à potência de 1 mais 1 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a à potência de 5. reto b ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço reto a quinta raiz de reto b ao quadrado fim da raiz espaço$

6º caso: radical com fração

Quando há uma fração como radicando, a expressão pode ser reescrita como o quociente das raízes.

Como fazer: $raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de reto x sobre denominador raiz quadrada de reto y fim da fração$

Exemplos:

$raiz quadrada de 6 espaço dividido por espaço raiz quadrada de 2 espaço igual a espaço raiz quadrada de 6 sobre 2 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 numerador raiz quadrada de 150 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a raiz quadrada de 150 sobre 3 fim da raiz igual a raiz quadrada de 50 espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado.2 fim da raiz espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 2$

7º caso: radical no denominador da fração (racionalização)

Quando o denominador de uma fração apresenta um radical, podemos eliminá-lo da seguinte forma:

Como fazer: $numerador reto a sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração igual a numerador reto a sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração. numerador raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b. reto b fim da raiz fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador reto b fim da fração$

Exemplos:

$numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2.2 fim da raiz fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração numerador 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 fim da fração igual a numerador 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 fim da fração. numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador raiz quadrada de 5 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5.5 fim da raiz fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3.5 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 15 fim da fração$

Exercício de simplificação de radicais

Utilize as propriedades de radiciação para resolver ou simplificar as raízes.

a) $cúbica raiz de menos 343 fim da raiz$

b) $quinta raiz de 243$

c) $quarta raiz de 4096$

d) $cúbica raiz de 2 à potência de 6 fim da raiz$

e) $índice radical 8 de 9 à potência de 4 fim da raiz$

f) $cúbica raiz de 3 espaço. espaço cúbica raiz de 9$

g) $cúbica raiz de 3 espaço. espaço quarta raiz de 2$

h) $raiz quadrada de 2 raiz quadrada de 2 raiz quadrada de 2 fim da raiz fim da raiz$

Ver Resposta

a) Resposta: -7

Fatorando o 343 encontramos 7 ao cubo.

$343 espaço igual a espaço 7 ao cubo$

Substituindo na raiz:

$cúbica raiz de menos 343 fim da raiz igual a cúbica raiz de menos 7 ao cubo fim da raiz igual a índice radical diagonal para cima risco 3 de menos 7 riscado diagonal para cima sobre espaço em branco ao cubo fim do riscado fim da raiz igual a negrito menos negrito 7$

b) Resposta: 3

Fatorando o 243 e substituindo na raiz:

$quinta raiz de 243 igual a quinta raiz de 3 à potência de 5 fim da raiz igual a negrito 3$

c) Resposta: 8

Fatorando o 4096 e substituindo na raiz, temos:

$quarta raiz de 4096 igual a quarta raiz de 2 à potência de 12 fim da raiz igual a 2 à potência de 12 sobre 4 fim do exponencial igual a 2 ao cubo igual a negrito 8$

d) Resposta: 4

$cúbica raiz de 2 à potência de 6 fim da raiz igual a 2 à potência de 6 sobre 3 fim do exponencial igual a 2 ao quadrado igual a negrito 4$

e) Resposta: 3

$índice radical 8 de 9 à potência de 4 fim da raiz igual a índice radical 8 dividido por 4 de 9 à potência de 4 dividido por 4 fim do exponencial fim da raiz igual a quadrada raiz de 9 igual a negrito 3$

f) Resposta: 3

$cúbica raiz de 3 espaço. espaço cúbica raiz de 9 igual a cúbica raiz de 3 espaço. espaço 9 fim da raiz igual a cúbica raiz de 27 igual a cúbica raiz de 3 ao cubo fim da raiz igual a negrito 3$

$cúbica raiz de 3 espaço. espaço quarta raiz de 2 igual a índice radical 3.4 de 3 à potência de 4 fim da raiz espaço. espaço índice radical 4.3 de 2 ao cubo fim da raiz igual a índice radical 12 de 3 à potência de 4 fim da raiz espaço. espaço índice radical 12 de 2 ao cubo fim da raiz igual a índice radical 12 de 81. índice radical 12 de 8 igual a índice radical 12 de 648$

$raiz quadrada de 2 raiz quadrada de 2 raiz quadrada de 2 fim da raiz fim da raiz igual a raiz quadrada de raiz quadrada de 2.2 ao quadrado raiz quadrada de 2 fim da raiz fim da raiz igual a raiz quadrada de raiz quadrada de 8 raiz quadrada de 2 fim da raiz fim da raiz igual a raiz quadrada de raiz quadrada de raiz quadrada de 2.8 ao quadrado fim da raiz fim da raiz fim da raiz igual a índice radical 8 de 128 igual a índice radical 8 de 2 à potência de 7 fim da raiz$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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