Área da Esfera

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A área da esfera corresponde a medida da superfície dessa figura geométrica espacial. Lembre-se que a esfera é uma figura sólida e simétrica tridimensional.

Esfera

Fórmula da área da esfera

Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto A com reto e subscrito igual a espaço 4. reto pi. reto r ao quadrado fim do estilo$

Onde:
A_e: área da esfera
π (Pi): constante de valor 3,14
r: raio

Obs: o raio da esfera corresponde a distância entre o centro da figura e sua extremidade.

Exercícios Resolvidos

Calcule a área das superfícies esféricas:

a) esfera de raio 7 cm

$Ae espaço igual a espaço 4. reto pi. reto r ao quadrado espaço Ae espaço igual a espaço 4. reto pi.7 ao quadrado espaço Ae espaço igual a espaço 4. reto pi.49 espaço Ae espaço igual a espaço 196 reto pi espaço cm ao quadrado$

b) esfera de diâmetro de 12 cm

Antes de mais nada, devemos lembrar que o diâmetro equivale a duas vezes a medida do raio (d = 2r). Portanto, o raio dessa esfera mede 6 cm.

$Ae espaço igual a espaço 4. reto pi. reto r ao quadrado espaço Ae espaço igual a espaço 4. reto pi.6 ao quadrado espaço Ae espaço igual a espaço 4. reto pi.36 espaço Ae espaço igual a espaço 144 reto pi espaço cm ao quadrado$

c) esfera de volume 288π cm³

Para realizar esse exercício devemos lembrar a fórmula do volume da esfera:

$reto V com reto e subscrito espaço igual a espaço numerador 4. reto pi. reto r ao cubo sobre denominador 3 fim da fração$

$288 pi espaço c m ao cubo espaço igual a espaço numerador 4. pi. r ao cubo sobre denominador 3 fim da fração espaço parêntese esquerdo c o r t a menos s e espaço o espaço pi espaço d o s espaço d o i s espaço l a d o s parêntese direito espaço 288 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 4. r ao cubo espaço 864 espaço igual a espaço 4. r ao cubo espaço 864 sobre 4 igual a espaço r ao cubo espaço 216 espaço igual a espaço r ao cubo espaço r espaço igual a espaço cúbica raiz de 216 espaço r espaço igual a espaço 6 espaço c m$

Descoberta a medida raio, calculamos a área da superfície esférica:

Exercícios de vestibular sobre área da esfera com gabarito

Exercício 1

(UNITAU) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:

a) 21 %.
b) 11 %.
c) 31 %.
d) 24 %.
e) 30 %.

Ver Resposta

Alternativa a: 21 %

A área inicial é: $A com i subscrito igual a 4. pi. r ao quadrado$

Aumentar o raio em 10% é multiplicá-lo por 1,1, assim, a área final será:

$A com f subscrito igual a 4. pi. abre parênteses 1 vírgula 1 r fecha parênteses ao quadrado A com f subscrito igual a 4. pi.1 vírgula 21 r ao quadrado$

Multiplicar por 1,21 é aumentar 21%.

$1 vírgula 21 espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 0 vírgula 21 espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 21 sobre 100 igual a 1 espaço mais espaço 21 sinal de percentagem$

Por exemplo, para uma esfera de raio inicial igual a 1, sua área inicial será de $4 pi.1 ao quadrado igual a 4 pi$ . Ao aumentar seu raio em 10% : $4 pi. espaço abre parênteses 1 vírgula 1 fecha parênteses ao quadrado igual a 4 pi.1 vírgula 21 espaço igual a 4 vírgula 21 pi$ .

Exercício 2

(UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16π cm³o raio da esfera é dado por:

a) √3 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 4 + √2 cm

Ver Resposta

Alternativa c: 3 cm

Objetivo
Determinar o raio da esfera.

Dados
Área da esfera igual a área do cone.
Raio do cone = 4cm
Volume do cone = 16π cm3

Passo 1: equação para o raio da esfera.

Igualando as áreas do cone e da esfera, temos:

$A com c o n e subscrito fim do subscrito igual a A com e s f e r a subscrito fim do subscrito pi r com c subscrito parêntese esquerdo r com c subscrito mais g parêntese direito igual a 4 pi r com e subscrito ao quadrado$

Onde,
$r com c subscrito espaço$ é o raio do cone

$r com e subscrito$ é o raio da esfera

$g$ é a geratriz do cone

Isolando o raio da esfera na equação e simplificando:

$numerador pi r com c subscrito parêntese esquerdo r com c subscrito mais g parêntese direito sobre denominador 4 pi fim da fração igual a r com e subscrito ao quadrado numerador r com c subscrito parêntese esquerdo r com c subscrito mais g parêntese direito sobre denominador 4 fim da fração igual a r com e subscrito ao quadrado espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito$

O raio da esfera depende dos valores do raio do cone, que o problema fornece igual a 4 cm e, a geratriz.

Passo 2: determinar a geratriz.

A geratriz forma com o raio da base e a altura do cone, um triângulo retângulo de hipotenusa igual a geratriz. Pelo teorema de pitágoras:

$g ao quadrado igual a h ao quadrado mais r com c subscrito ao quadrado$

Como ainda não temos a informação do valor da altura, precisamos determiná-la utilizando a informação do volume.

Passo 3: determinar a altura do cone.

O volume do cone é:

$V com c subscrito igual a numerador pi r ao quadrado. h sobre denominador 3 fim da fração$

Substituindo o valor do volume oferecido pelo problema e resolvendo para h:

$3. V com c subscrito igual a pi r ao quadrado. h numerador 3. V com c subscrito sobre denominador pi r ao quadrado fim da fração igual a h numerador 3.16 pi sobre denominador pi 4 ao quadrado fim da fração igual a h numerador 3.16 pi sobre denominador 16 pi fim da fração igual a h 3 espaço c m espaço igual a espaço h$

Passo 4: substituir os valores determinados e calcular o raio da esfera.

Substituindo h na equação da geratriz

$g ao quadrado igual a 3 ao quadrado mais 4 ao quadrado g ao quadrado igual a 9 mais 16 g ao quadrado igual a 25 g igual a raiz quadrada de 25 g igual a 5 espaço c m$

Por fim, substituímos o valor de g na equação do raio da esfera (equação I).

$numerador 4 parêntese esquerdo 4 mais 5 parêntese direito sobre denominador 4 fim da fração igual a r com e subscrito ao quadrado 4 mais 5 espaço igual a espaço r com e subscrito ao quadrado 9 igual a espaço r com e subscrito ao quadrado raiz quadrada de 9 igual a r com e subscrito 3 espaço c m espaço igual a espaço r com e subscrito$

Conclusão

O raio da esfera mede 3 cm.

Leia tambémA Esfera na Geometria Espacial.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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