Equação exponencial
Uma equação é exponencial quando a incógnita (valor desconhecido) está no expoente de uma potência. Assim, uma sentença matemática que envolve a igualdade entre dois termos, onde a incógnita aparece em pelo menos um expoente, é denominada equação exponencial.
Uma potência é o resultado do produto de sua base por ela mesma, tantas vezes quanto determinado pelo expoente.
Em uma equação exponencial determinamos quantos fatores são multiplicados, ou seja, quantas vezes a base se multiplica, a fim de obtermos um determinado resultado.
Definição de equação exponencial:
Onde:
b é a base;
x é o expoente (incógnita);
a é a potência.
Em que 
e 
.
Exemplo de equação exponencial:
A variável desconhecida está no expoente. Devermos determinar quantas vezes o 2 irá se multiplicar para resultar em 8. Como 2 . 2 . 2 = 8, x = 3, pois o 2 deve se multiplicar três vezes para obtermos 8 como resultado.
Como resolver equações exponenciais
As equações exponenciais podem ser escritas de várias formas e para resolvê-las, utilizaremos que potências iguais de bases iguais, obrigatoriamente também possuem os mesmos expoentes.
Como a função exponencial é injetiva, temos:
Isto significa que duas potências com a mesma base serão iguais se e somente se seus expoentes também forem iguais.
Assim, uma estratégia para resolver equações exponenciais é igualar as bases das potências. Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las e comparar os expoentes.
Para igualar as bases das potências em uma equação exponencial, utilizamos ferramentas matemáticas como a fatoração e as propriedades da potenciação.
Exemplos de resoluções de equações exponenciais
Exemplo 1
Se trata de uma equação exponencial, pois a sentença envolve uma igualdade (equação) e, a variável desconhecida x está no expoente (exponencial).
Para determinar o valor da incógnita x, igualamos as bases das potências, usando a fatoração do 64.
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ou 
Substituindo na equação:
Desconsideramos as bases, restando apenas a igualdade entre os expoentes.
x = 6
Assim, x = 6 é o resultado da equação.
Exemplo 2
Igualamos as bases utilizando fatoração.
- 9 = 3 . 3 =
- 81 = 3 . 3 . 3 . 3 =
Substituindo na equação:
Utilizando a propriedade de potência de uma potência, multiplicamos os expoentes do lado esquerdo.
Com as bases igualadas podemos descartá-las e igualar os expoentes.
Assim, x = 1 é o resultado da equação.
Exemplo 3
Transformamos a base 0,75 em uma fração centesimal.
Simplificamos a fração centesimal.
Fatoramos o 9 e o 16.
Igualando as bases, temos que x = 2.
x = 2
Exemplo 4
Transformamos a raiz em uma potência.
Fatoramos as bases das potências.
Multiplicando os expoentes, igualamos as bases.
Logo, temos que:
Exemplo 5
Fatorando o 25
Reescrevemos a potência de 5² elevado a x. Mudando a ordem dos expoentes.
Utilizamos uma variável auxiliar, que chamaremos de y.
(guarde esta equação, vamos usá-la logo a frente).
Substituindo na equação anterior.
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
O conjunto solução para a equação do segundo grau é {1, 5}, no entanto, essa não é a solução da equação exponencial. Devemos voltar para a variável x, usando 
Para y = 1:
Para y = 5:
O conjunto solução para a equação exponencial é S={0, 1}.
Aprenda mais sobre potências:
Para exercícios:
- Exercícios de equações exponenciais
- 17 exercícios de potenciação com gabarito comentado
- Exercícios de função exponencial (resolvidos e comentados)
ASTH, Rafael. Equação exponencial. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/equacao-exponencial/. Acesso em:
