Equações irracionais: o que são e como resolver

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Equações irracionais são equações que possuem uma incógnita dentro de um radical. O radical é uma expressão algébrica que contém a incógnita. O objetivo é encontrar o valor da incógnita que satisfaça a equação.

$tabela linha com blank blank radical blank blank blank linha com blank blank seta para baixo blank blank blank linha com índice seta para a direita célula com reto n enésima raiz de reto x espaço espaço fim da célula célula com igual a reto y fim da célula seta para a esquerda raiz linha com blank blank seta para cima blank blank blank linha com blank blank radicando blank blank blank fim da tabela$

Confira alguns exemplos de equações irracionais.

$raiz quadrada de menos reto x espaço mais espaço 3 fim da raiz igual a 2$
$raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço 25 fim da raiz igual a 4$
$cúbica raiz de reto x ao quadrado menos espaço 1 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 5$

Em resumo, as equações irracionais são como problemas matemáticos em que temos uma caixa misteriosa com um número escondido dentro. Dentro dessa caixa, temos uma conta matemática complicada, com letras e números misturados. O desafio é descobrir qual número faz essa conta ficar certa, ou seja, encontrar o valor escondido na caixa misteriosa.

Como resolver uma equação irracional?

Para resolver uma equação irracional a radiciação deve ser eliminada, transformando-a em uma equação racional, mais simples para encontrar o valor da incógnita.

Exemplo 1

$raiz quadrada de 2 reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3$

1º passo: isole o radical no primeiro membro da equação.

$raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço igual a menos 3 mais 4 raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço igual a 1$

2º passo: eleve ambos os membros da equação ao número que corresponde ao índice do radical.

Por se tratar de uma raiz quadrada, deve-se elevar os dois membros ao quadrado e, com isso, elimina-se a raiz.

$parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a 1 ao quadrado 2 reto x espaço mais espaço 5 espaço igual a espaço 1 espaço$

3º passo: encontre o valor de x resolvendo a equação.

$2 reto x espaço mais espaço 5 espaço igual a 1 2 reto x espaço igual a espaço 1 espaço menos 5 2 reto x espaço igual a espaço menos 4 reto x espaço igual a espaço numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço menos 2$

4º passo: verifique se a solução é verdadeira.

$raiz quadrada de 2 reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3 raiz quadrada de 2. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a espaço menos 3 raiz quadrada de menos 4 espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3 raiz quadrada de 1 espaço menos 4 igual a espaço menos 3 1 espaço menos 4 igual a espaço menos 3 menos 3 espaço igual a espaço menos 3$

Para a equação irracional, o valor de x é – 2.

Exemplo 2

$reto x espaço menos 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz$

1º passo: elevar ambos os membros da equação ao quadrado.

$parêntese esquerdo reto x espaço menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço parêntese esquerdo reto x espaço menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5$

2º passo: resolva a equação.

$parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 1 parêntese direito. parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5 reto x ao quadrado espaço menos reto x espaço menos reto x espaço mais 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais 5 reto x ao quadrado espaço menos 2 reto x espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5 reto x ao quadrado espaço menos 2 reto x espaço menos reto x espaço mais 1 espaço menos espaço 5 espaço igual a espaço 0 reto x ao quadrado espaço menos 3 reto x espaço menos 4 espaço igual a espaço 0$

3º passo: encontre as raízes da equação do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

$reto x espaço igual a espaço numerador menos reto b espaço mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos espaço 4. reto a. reto c fim da raiz sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 16 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração tabela linha com célula com reto x apóstrofo espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla espaço igual a espaço numerador 3 espaço menos espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 sobre 2 igual a espaço menos 1 fim da célula fim da tabela em moldura esquerda fecha moldura$

4º passo: verificar qual a solução verdadeira para a equação.

Para x = 4:

$reto x espaço menos 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz 4 espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 5 fim da raiz 3 espaço igual a espaço raiz quadrada de 9 3 espaço igual a espaço 3$

Para a equação irracional, o valor de x é 3.

Para x = – 1.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Para a equação irracional, o valor x = – 1 não é uma solução verdadeira.

Veja também: Números Irracionais

Exercícios sobre equações irracionais (com gabarito comentado)

Exercício 1

Resolva as equações irracionais em R e verifique se as raízes encontradas são verdadeiras.

a) $raiz quadrada de reto x ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5$

Ver Resposta

Resposta correta: x = 3.

1º passo: elevar os dois termos da equação ao quadrado, eliminar a raiz e resolver a equação.

$parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço menos espaço 4 fim da raiz parêntese direito à potência de 2 espaço fim do exponencial igual a espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 parêntese direito ao quadrado espaço reto x ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço igual a espaço 5 reto x ao quadrado espaço igual a espaço 5 espaço mais espaço 4 reto x ao quadrado espaço igual a 9 reto x espaço igual a espaço 3$

2º passo: verificar se a solução é verdadeira.

$raiz quadrada de reto x ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 3 ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 9 menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 5 espaço igual a raiz quadrada de 5$

b) $raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1$

Ver Resposta

Resposta correta: x = – 3.

1º passo: isolar o radical em um lado da equação.

$raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço reto x$

2º passo: elevar ambos os termos ao quadrado e resolver a equação.

$parêntese esquerdo raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito ao quadrado espaço menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito. parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a 1 espaço menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a 1 menos 2 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado 0 espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço 25 espaço menos 2 reto x espaço espaço mais espaço reto x ao quadrado mais espaço reto x ao quadrado 0 espaço igual a espaço menos 24 espaço menos 2 reto x espaço mais 2 reto x ao quadrado$

3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

$reto x espaço igual a espaço numerador menos reto b espaço mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos espaço 4. reto a. reto c fim da raiz sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado menos espaço 4.2. parêntese esquerdo menos 24 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 192 fim da raiz sobre denominador 4 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 196 sobre denominador 4 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração tabela linha com célula com reto x apóstrofo espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração igual a 16 sobre 4 igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla espaço igual a espaço numerador 2 espaço menos espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração igual a menos 12 sobre 4 igual a espaço menos 3 fim da célula fim da tabela em moldura esquerda fecha moldura$

4º passo: verificar qual solução é verdadeira.

Para x = 4:

$raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 4 ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 16 mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço 4 espaço igual a 1 espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 4 igual a 1 3 espaço mais espaço 4 igual a espaço 1 7 não igual espaço 1$

Para x = – 3:

$raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 9 mais espaço 25 fim da raiz espaço menos espaço 3 igual a espaço 1 raiz quadrada de 16 espaço menos 3 igual a espaço 1 4 espaço menos 3 espaço igual a espaço 1 1 espaço igual a espaço 1$

Para os valores de x encontrados, apenas x = – 3 é a verdade solução da equação irracional.

Veja também: Fórmula de Bhaskara

Exercício 2

(Ufv/2000) Sobre a equação irracional $raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1$ é CORRETO afirmar que:

a) não possui raízes reais.
b) possui apenas uma raiz real.
c) possui duas raízes reais distintas.
d) é equivalente a uma equação do 2º grau.
e) é equivalente a uma equação do 1° grau.

Ver Resposta

Alternativa correta: a) não possui raízes reais.

1º passo: elevar os dois termos ao quadrado.

$raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1 parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito ao quadrado$

2º passo: resolver a equação.

$parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito ao quadrado reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a espaço reto x ao quadrado menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais 1 reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a reto x ao quadrado espaço menos espaço 2 reto x espaço mais 1 reto x ao quadrado espaço menos espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x espaço igual a espaço 1 espaço menos 1 2 reto x espaço igual a espaço 0 reto x espaço igual a 0 sobre 2 reto x espaço igual a 0$

3º passo: verificar se a solução é verdadeira.

$raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1 raiz quadrada de 0 ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a 0 menos 1 raiz quadrada de 1 espaço igual a menos 1 1 espaço não igual menos 1$

Como o valor de x encontrado não satisfaz a solução da equação irracional, não há raízes reais.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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