Escalonamento de Sistemas Lineares

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Escalonamento é um método para resolver sistemas de equações lineares, quando existe solução. Também é usado para classificar estes sistemas que podem possuir quaisquer ordens.

Escalonar um sistema linear é modificar suas equações e termos de modo a obter um novo sistema, escalonado, em que ambos são equivalentes, pois possuem as mesmas soluções.

Forma escalonada de sistemas

Um sistema linear de equações está na forma escalonada quando:

As incógnitas das equações são escritas na mesma ordem;
O 1.º elemento diferente de zero de uma equação, está à esquerda do 1.º elemento diferente de zero da linha seguinte;
Uma linha com todos os elementos nulos, deve estar abaixo de todas as outras.

Exemplo
Um sistema 2x2 escalonado, com duas equações e duas incógnitas, x e y. Na segunda equação o 1.º termo é nulo (x=0).

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Exemplo
Um sistema 3x3 escalonado, com três equações e três incógnitas: x, y e z. A primeira equação possui todos os termos não-nulos (diferentes de zero). A segunda equação tem o 1.º termo nulo (x=0) e, a terceira equação possui x e y iguais a zero.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 3 y espaço mais espaço z igual a 5 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço z igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Repare que os sistemas escalonados estão na forma de escada, diminuindo a quantidade de termos a cada linha.

Como escalonar um sistema linear

Para escalonar um sistema linear podemos utilizar as seguintes operações:

Troca da ordem das equações

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula linha com célula com reto x mais reto y igual a 3 fim da célula fim da tabela fecha$

Podemos passar a equação da linha 2 para a linha 1.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Assim o sistema está escalonado, equivalente ao primeiro.

Multiplicação (ou divisão) de todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero;

Podemos multiplicar todos os termos de uma equação qualquer do sistema.

$3 reto x mais 2 reto y mais reto z espaço igual a espaço 5$

Multiplicando todos os termos por 3

$negrito 3.3 reto x mais negrito 3.2 reto y mais negrito 3. reto z igual a negrito 3.5 9 reto x mais 6 reto y mais 3 reto z igual a 15$

Multiplicação dos termos de uma equação por um número real e, soma (ou subtração) do resultado aos termos correspondentes de outra equação do sistema.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto x mais reto y igual a 2 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Podemos multiplicar todos os elementos da equação da primeira linha por 2

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto x mais reto y igual a 2 espaço negrito. negrito parêntese esquerdo negrito 2 negrito parêntese direito seta dupla para a direita negrito 2. x mais negrito 2. y igual a negrito 2.2 seta dupla para a direita 2 reto x mais 2 reto y igual a 4 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Somamos a equação obtida termo a termo com a equação da segunda linha e substituímos na segunda linha o resultado.

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 2 x mais 2 y igual a 4 end row row menos 2 x mais y igual a 5 end row horizontal line row 3 y igual a 9 end row end stack$

Obtemos o sistema escalonado.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço 3 y igual a 9 fim da célula fim da tabela fecha$

Devemos realizar tantas transformações quanto forem necessárias, até obtermos um sistema na forma escalonada, equivalente ao primeiro.

Classificação de sistemas lineares escalonados

Para classificar um sistema linear escalonado deve-se observar a última linha para determinar se ele é:

SPD - Sistema possível e determinado. Tem apenas uma solução.
SPI - Sistema possível e indeterminado. Tem infinitas soluções.
SI - Sistema impossível. Não possui solução.

Se a última linha do sistema for:

Uma equação do 1º grau, o sistema é possível e determinado, SPD;

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x menos 5 y igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha$

Uma igualdade apenas com números, sem incógnitas e verdadeira, o sistema é possível e indeterminado, SPI.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y mais z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Uma igualdade falsa, o sistema é impossível, SI.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 10 x menos 4 y mais 2 z igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 8 y menos 2 z igual a 10 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 16 fim da célula fim da tabela fecha$

Resolução de sistemas lineares escalonados

Resolver um sistema de equações é determinar seu conjunto solução, os valores numéricos que ao substituí-los pelas incógnitas, tornam verdadeiras as igualdades.

Para resolver sistemas lineares escalonados consideramos dois casos e realizamos as seguintes estratégias:

Número de equações igual o número de incógnitas.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y menos z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço z igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha$

Começamos a resolução a partir da última equação, de baixo para cima.

Substituindo z na segunda equação:

$y menos z igual a 4 y menos 2 igual a 4 y igual a 4 mais 2 y igual a 6$

O procedimento continua até a primeira equação, determinando todas as incógnitas.

Substituindo y e z na primeira equação:

$x mais y mais z igual a 1 x mais 6 mais 2 igual a 1 x mais 8 igual a 1 x igual a 1 menos 8 x igual a menos 7$

Número de equações menor que o número de incógnitas

Exemplo: 2 equações e 3 incógnitas

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y menos z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

1. Identificamos a variável livre
Variável livre é aquela que não inicia equações, no exemplo, é a variável z.

2. Transpomos a variável livre para o outro lado da igualdade, no segundo membro da equação.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 3 menos z fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y igual a 5 mais z fim da célula fim da tabela fecha$

3. Atribuímos para z um valor numérico real k $parêntese esquerdo k pertence reto números reais parêntese direito$ , z=k.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 3 menos k fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y igual a 5 mais k fim da célula fim da tabela fecha$

4. Substituímos y na primeira equação pelo segundo membro da segunda equação e resolvemos para x.

$x mais 5 mais k igual a 3 menos k x igual a 3 menos 5 menos k menos k x igual a menos 2 menos 2 k$

5. O conjunto solução é $S igual a abre chaves abre parênteses menos 2 menos 2 k vírgula espaço 5 mais k espaço vírgula espaço k fecha parênteses fecha chaves$

Como k pode assumir qualquer valor real, o sistema é possível e indeterminado.

Exercícios

Questão 1

Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 x mais espaço espaço y menos 3 z igual a 4 fim da célula linha com célula com 3 x mais 2 y menos 2 z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Ver Resposta

Multiplicamos a primeira equação por -2.

$x mais y mais z igual a 1 espaço. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos 2. x mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. y mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. z igual a menos 2.1 menos 2 x menos 2 y menos 2 z igual a menos 2$

Somamos termo a termo com a segunda equação, que será substituída pelo resultado.

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 2 x menos 2 y menos 2 z igual a menos 2 end row row 2 x nada mais y nada menos 3 z igual a 4 end row horizontal line row menos y menos 5 z igual a 2 end row end stack$

A primeira equação continua original. O sistema neste ponto está assim:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com 3 x mais 2 y menos 2 z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Multiplicamos a primeira equação por -3.

$x mais y mais z igual a 1 espaço. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito menos 3. x mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. y mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. z igual a menos 3.1 menos 3 x menos 3 y menos 3 z igual a menos 3$

Somamos termo a termo com a terceira, que será substituída pelo resultado.

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 3 x menos 3 y nada menos 3 z igual a menos 3 end row row 3 x mais nada 2 y menos 2 z nada igual a 5 end row horizontal line row menos y menos 5 z igual a 2 end row end stack$

O sistema fica assim:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha$

Multiplicando a segunda equação por -1:

$menos y menos 5 z igual a 2 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito y mais 5 z igual a menos 2$

Somando a terceira, obtemos:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$

Como a última linha é uma igualdade verdadeira do tipo 0=0, o sistema é possível e indeterminado, SPI.

Questão 2

Classifique o sistema em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

a) $abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais 2 z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço 2 y mais 9 z igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha$ b) $abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y mais 3 z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço 3 y mais 2 z igual a menos 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 z igual a menos 13 fim da célula fim da tabela fecha$ c) $abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 5 x menos 2 y mais z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 4 y menos z igual a 5 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 8 fim da célula fim da tabela fecha$

Ver Resposta

a) Sistema possível indeterminado, SPI. A última linha é uma igualdade verdadeira sem incógnitas.

b) Sistema possível determinado, SPD. A última linha é uma equação do 1º grau.

c) Sistema impossível, SI. A última linha é uma igualdade falsa.

Questão 3

Determine o conjunto solução do seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x mais 3 y mais 6 z igual a 15 fim da célula linha com célula com 2 y mais 2 z igual a 6 fim da célula linha com célula com 3 z igual a 3 fim da célula fim da tabela fecha$

Ver Resposta

Começando com a terceira equação:

$3 z igual a 3 z igual a 3 sobre 3 igual a 1$

Substituindo na segunda equação:

$2 y mais 2.1 igual a 6 2 y igual a 6 menos 2 2 y igual a 4 y igual a 4 sobre 2 y igual a 2$

Substituindo y e z na primeira equação:

$3 x mais 3.2 mais 6.1 igual a 15 3 x mais 6 mais 6 igual a 15 3 x mais 12 igual a 15 3 x igual a 15 menos 12 3 x igual a 3 x igual a 3 sobre 3 igual a 1$

O conjunto solução é S={(1,2,1)}.

Aprenda mais sobre

Exercite com Sistemas de Equações do 1º Grau - Exercícios.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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