Fatoração de Polinômios

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Fatorar é, portanto, escrever em fatores.

Um polinômio é uma expressão algébrica, com números e letras. Os números são os coeficientes e as letras, as variáveis. Letras e números unidos por multiplicações são os termos, chamados monômios. Os polinômios são somas ou subtrações dos monômios.

Por exemplo:

$reto x ao quadrado menos 3 reto x mais 2$

Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. O polinômio acima pode ser escrito como uma multiplicação entre outros dois, mais simples:

$reto x ao quadrado menos 3 reto x mais 2 igual a parêntese esquerdo reto x menos 2 parêntese direito parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito$

Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

Fator Comum em Evidência

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.

Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente de parênteses.

Nos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Na prática, fazemos os seguintes passos:

Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
Colocar nos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

Exemplo 1
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.

Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado colocamos nos parênteses:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

Exemplo 2
b) Fatore 2a²b + 3a³c - a⁴.

Como não existe número que divide simultaneamente 2, 3 e -1, não colocamos nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a², menor expoente do a na expressão.

Dividimos cada termo do polinômio por a²:

$numerador 2 reto a ao quadrado reto b sobre denominador reto a ao quadrado fim da fração espaço mais espaço numerador 3 reto a ao cubo reto c sobre denominador reto a ao quadrado fim da fração espaço menos espaço reto a à potência de 4 sobre reto a ao quadrado igual a numerador 2 riscado diagonal para baixo sobre reto a ao quadrado fim do riscado reto b sobre denominador riscado diagonal para baixo sobre reto a ao quadrado fim do riscado fim da fração espaço mais espaço numerador 3 riscado diagonal para cima sobre reto a ao quadrado fim do riscado. reto a. reto c sobre denominador reto a riscado diagonal para baixo sobre espaço em branco ao quadrado fim do riscado fim da fração espaço menos espaço numerador reto a ao quadrado riscado diagonal para cima sobre reto a ao quadrado fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre reto a ao quadrado fim do riscado fim da fração igual a 2 reto b mais 3 ac menos reto a ao quadrado$

Colocamos o a² na frente dos parênteses e os resultados das divisões nos parênteses:

$2 reto a ao quadrado reto b mais 3 reto a ao cubo reto c menos reto a à potência de 4 igual a reto a ao quadrado espaço parêntese esquerdo 2 reto b espaço mais espaço 3 ac menos reto a ao quadrado parêntese direito$

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.

Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.

Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo 3
Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

Colocando esses fatores em evidência:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômios são polinômios com 3 termos.

Os trinômios quadrados perfeitos a² + 2ab + b² e a² - 2ab + b² resultam do produto notável do tipo (a + b)² e (a - b)².

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a² + 2ab + b² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)

a² - 2ab + b² = (a - b)² (quadrado da diferença de dois termos)

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
Multiplicar os valores encontrados por 2.
Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

Exemplo 4
a) Fatorar o polinômio x² + 6x + 9

Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.

√x² = x e √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.

Assim, a fatoração será:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Exemplo 5
b) Fatorar o polinômio x² - 8xy + 9y²

Testando se é trinômio quadrado perfeito:

√x² = x e √9y² = 3y

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

Diferença de Dois Quadrados

Para fatorar polinômios do tipo a² - b² usamos o produto notável da soma pela diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a² - b² = (a + b) . (a - b)

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.

Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo 6

Fatorar o binômio 9x² - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x² = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x² - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo Perfeito

Os polinômios a³ + 3a²b + 3ab² + b³ e a³ - 3a²b + 3ab² - b³ resultam do produto notável do tipo (a + b)³ ou (a - b)³.

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.

Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.

Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.

Exemplo 7

a) Fatorar o polinômio x³ + 6x² + 12x + 8

Primeiro, calcularemos a raiz cúbica dos termos ao cubo:

³√ x³ = x e ³√ 8 = 2

Depois, confirmar se é cubo perfeito:

3 . x² . 2 = 6x²

3 . x . 2² = 12x

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³

Exemplo 8

b) Fatorar o polinômio a³ - 9a² + 27a - 27

Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

³√ a³ = a e ³√ - 27 = - 3

Depois confirmar se é cubo perfeito:

3 . a² . (- 3) = - 9a²

3 . a . (- 3)² = 27a

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

a³ - 9a² + 27a - 27 = (a - 3)³

Leia também:

Exercícios de fatoração de polinômios

Fatore os seguintes polinômios:

a) 33x + 22y – 55z
b) 6nx – 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 – a²
e) 9a² + 12a + 4

Ver Resposta

a) $33 x espaço mais espaço 22 y espaço – espaço 55 z$

33, 22 e 55 são divisíveis por 11. Assim utilizamos o fator comum em evidência, colocando o 11 fora dos parenteses e os quocientes dentro.

$33 x espaço mais espaço 22 y espaço – espaço 55 z igual a negrito 11 negrito. negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 3 bold italic x negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 2 bold italic y negrito espaço negrito – negrito espaço negrito 5 bold italic z negrito parêntese direito$

b) $6 nx espaço – espaço 6 ny$

O 6n é um fator comum aos dois monômios e, assim, podemos colocá-lo em evidência.

$6 nx espaço – espaço 6 ny igual a espaço negrito 6 negrito n negrito espaço negrito. negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito x negrito espaço negrito – negrito espaço negrito y negrito parêntese direito negrito espaço$

c) $4 reto x espaço – espaço 8 reto c espaço mais espaço mx espaço – espaço 2 mc$

Utilizamos o fator comum em evidência seguido do agrupamento.

$4 reto x espaço – espaço 8 reto c espaço mais espaço mx espaço – espaço 2 mc 4 parêntese esquerdo reto x menos 2 reto c parêntese direito mais reto m parêntese esquerdo reto x menos 2 reto c parêntese direito negrito parêntese esquerdo negrito x negrito menos negrito 2 negrito c negrito parêntese direito negrito. negrito parêntese esquerdo negrito 4 negrito mais negrito m negrito parêntese direito$

d) $49 espaço – espaço reto a ao quadrado$

Podemos fatorar o 49 como 7.7 ou 7².

$7 ao quadrado espaço – espaço reto a ao quadrado$

Usando a diferença de dois quadrados:

(7 + a) . (7 – a)

e) $9 reto a ao quadrado espaço mais espaço 12 reto a espaço mais espaço 4$

O primeiro e o último termo podem ser escritos como potências de expoente dois:

$9 reto a ao quadrado igual a abre parênteses 3 reto a fecha parênteses ao quadrado 4 igual a 2 ao quadrado$

Fazendo o produto entre as bases por 2:

2. 3a . 2 = 12a

Assim, pode escrever como:

(3a + 2)²

Veja também:

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

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