Geometria Espacial: os sólidos e suas fórmulas

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A Geometria Espacial é a parte da matemática que estuda formas com três dimensões. Ela se ocupa de objetos que ocupam espaço, como cubos e esferas. De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço.

A Geometria Espacial é bastante utilizada em campos de estudo como: arquitetura, engenharia e design, onde é fundamental para projetar e construir estruturas, criar modelos tridimensionais e realizar cálculos precisos de volumes e áreas.

Além disso, a Geometria Espacial desempenha um papel importante em ciências naturais e engenharia, como na astronomia para mapear o espaço e na geologia para modelar terrenos. É fundamental em sistemas de navegação, como o GPS, para calcular posições e rotas, e também é aplicada em áreas como a medicina para criar imagens detalhadas do corpo humano.

Outro campo de estudo da geometria lida com figuras planas, como triângulos e círculos. A geometria plana estuda figuras com duas dimensões.

Características da Geometria Espacial

A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de duas dimensões e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como “sólidos geométricos” ou “figuras geométricas espaciais”.

Dessa forma, a geometria espacial pode determinar, por meio de cálculos, o volume destes objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles.

Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber:

Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização.
Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados.
Linha: possui algumas semelhanças com a reta, ao ser igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si.
Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções.

Figuras Geométricas Espaciais

Segue abaixo alguns dos sólidos geométricos mais conhecidos:

Cubo

O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices.

Cubo

Sendo a a medida da aresta:

Volume do cubo

$reto V igual a reto a espaço. espaço reto a espaço. espaço reto a igual a reto a ao cubo$

Área lateral do cubo

$reto A com lateral subscrito igual a 4 espaço. espaço reto a ao quadrado$

Área total do cubo

$reto A com total subscrito igual a 6 espaço. espaço reto a ao quadrado$

Aprofunde os seus conhecimentos sobre cubo.

Paralelepípedo

O paralelepípedo é formado por 6 faces retangulares, 12 arestas e 8 vértices. Diferente do cubo, as medidas das arestas do comprimento, da largura e da altura, não possuem necessariamente a mesma medida.

Sendo: L a medida da largura, c do comprimento e a da altura.

Volume do paralelepípedo

$reto V igual a reto L espaço. espaço reto c espaço. espaço reto a$

Área total do paralelepípedo

$reto A com total subscrito igual a 2 parêntese esquerdo reto L espaço. espaço reto c espaço mais espaço reto L espaço. espaço reto a espaço mais espaço reto c espaço. espaço reto a parêntese direito$

Prisma

O Prisma é um poliedro composto por duas faces paralelas que formam as bases, que por sua vez, podem ser triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais ou, qualquer outro polígono.

Além das bases, o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles onde a aresta e a base fazem um ângulo de 90°, ou os oblíquos, compostos de ângulos diferentes de 90°.

Volume do prisma

O volume de todo prisma é a multiplicação entre a medida de sua área da base pela sua altura (h).

$reto V com prisma subscrito igual a reto A com base subscrito espaço. espaço reto h$

A altura h do prisma é a distância entre suas bases.

Área do prisma

$reto A com total subscrito igual a 2 espaço. espaço reto A com base subscrito mais reto A com lateral subscrito$

O cálculo da área da base depende do polígono que forma suas bases. Já a área lateral é a soma das áreas dos retângulos que formam sua lateral.

Prisma triangular

É o prisma cujas bases são triângulos.

No caso particular em que a base é um triângulo equilátero, temos:

Volume: $reto V igual a numerador reto a com base subscrito ao quadrado. raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço. espaço reto h$

Área total: $reto A com total subscrito igual a 2. reto a com base subscrito ao quadrado. raiz quadrada de 3 espaço mais espaço 3. reto a com base subscrito. reto h$

Onde:

$reto a com base subscrito$ é a medida da aresta da base e h é a altura do prisma.

Prisma hexagonal

É o prisma onde a base é um hexágono.

No caso particular onde a base é um hexágono regular, temos:

Volume

$reto V igual a 3. numerador reto a ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração espaço. espaço reto h$

Área lateral

$reto A com lateral subscrito igual a espaço 6. reto a. reto h$

Área das bases (das duas juntas)

$reto A com bases subscrito igual a 3 reto a ao quadrado raiz quadrada de 3$

Aprenda mais sobre Prisma e o Volume do Prisma.

Pirâmide

A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo) e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser classificadas em retas (ângulo de 90°) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90°).

Volume da pirâmide

De forma geral, o volume da pirâmide é calculado pela multiplicação entre a área da base e sua altura, dividindo o resultado por 3.

$reto V igual a numerador reto A com base subscrito espaço. espaço reto h sobre denominador 3 fim da fração$

O cálculo da área da base depende do polígono que forma esta base.

Área da pirâmide

A medida da área da pirâmide é a soma da área de sua base mais sua lateral.

$reto A com total subscrito igual a reto A com base subscrito espaço mais espaço reto A com lateral subscrito$

Vale lembrar que as laterais das pirâmides são formadas por triângulos.

Aprenda mais sobre Pirâmide e Volume da Pirâmide.

Cilindro

O cilindro é uma forma espacial arredondada, por isso, não é considerado um poliedro. É formado por duas bases circulares e paralelas. A distância entre suas bases é sua altura.

Sendo, r o raio da base e h a altura.

Volume do cilindro

$reto V igual a reto pi. reto r ao quadrado espaço. espaço reto h$

Área do cilindro

A área total é formada pela soma das áreas das duas bases com sua área lateral.

$reto A com total subscrito igual a 2 espaço. espaço reto A com base subscrito espaço mais espaço reto A com lateral subscrito$

Onde:

$reto A com base subscrito igual a espaço reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado$

$reto A com lateral subscrito igual a 2 espaço. espaço reto pi espaço. espaço reto r espaço. espaço reto h$

Esfera

A esfera é um sólido geométrico de forma arredondada, não sendo um poliedro.

Volume da esfera

$reto V igual a 4 sobre 3 reto pi. reto r ao cubo$

Área da esfera

$reto A igual a 4 espaço. espaço reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado$

Cone

O cone é um sólido de revolução formado por uma base circular e um ponto fora desta base. O ponto que não pertence ao plano da base é o vértice do cone.

Sendo, r o raio da base e h a altura e g a geratriz.

Volume do cone

$reto V igual a numerador reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado espaço. espaço reto h sobre denominador 3 fim da fração$

Área da lateral do cone

$reto A igual a reto pi espaço. espaço reto r espaço. espaço reto g$

Área da base do cone

$reto A igual a reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado$

Sólidos de Platão

Os sólidos platônicos são poliedros especias, eles são formados por faces iguais. Todas as faces destes sólidos são polígonos regulares.

Tetraedro

O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.

Volume do tetraedro

$reto V igual a numerador reto a ao cubo espaço. espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador 12 fim da fração$

Área total do tetraedro

$reto A igual a reto a ao quadrado. raiz quadrada de 3$

Dodecaedro

O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais regulares, 30 arestas e 20 vértices.

Volume do dodecaedro

$reto V igual a reto a ao cubo espaço. espaço numerador parêntese esquerdo 15 espaço mais espaço 7 raiz quadrada de 5 parêntese direito sobre denominador 4 fim da fração$

Aproximadamente, o volume do dodecaedro é:

$reto V aproximadamente igual 7 vírgula 663 espaço. espaço reto a ao cubo$

Área total do dodecaedro

$reto A igual a 3 espaço. espaço raiz quadrada de 25 espaço mais espaço 10 raiz quadrada de 5 fim da raiz espaço. espaço reto a ao quadrado$

Aproximadamente, a área do dodecaedro é:

$reto A aproximadamente igual 20 vírgula 6457 vezes reto a ao quadrado espaço espaço$

Octaedro

O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces triangulares, sendo todas triângulos equiláteros. Ele possui 12 arestas congruentes e 6 vértices.

Volume do octaedro

$reto V igual a reto a ao cubo. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 fim da fração$

Aproximadamente, o volume do octaedro é:

$reto V aproximadamente igual 0 vírgula 471 vezes reto a ao cubo espaço$

Área do octaedro

$reto A igual a reto a ao quadrado. espaço 2 raiz quadrada de 3$

Aproximadamente, a área do octaedro é:

$reto A aproximadamente igual 3 vírgula 464 vezes reto a ao quadrado espaço$

Icosaedro

O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices.

Volume do Icosaedro

$reto V igual a espaço reto a ao cubo espaço. espaço numerador abre parênteses 5 espaço mais espaço 3 raiz quadrada de 5 fecha parênteses sobre denominador 12 fim da fração$

Aproximadamente, o volume do icosaedro é:

$reto V aproximadamente igual 2 vírgula 1817 vezes reto a ao cubo espaço$

Área do Icosaedro

$reto A igual a reto a ao quadrado espaço. espaço 5 raiz quadrada de 3$

Aproximadamente, a área do octaedro é:

$reto A aproximadamente igual 8 vírgula 660 vezes reto a ao quadrado espaço$

Curiosidades

A palavra “geometria” vem do grego e corresponde a união dos termos “geo” de terra e “metria” de medida, que significa “medir terra”.
Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimento de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera.
Os “Sólidos Platônicos” são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco “sólidos platônicos” são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

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Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

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