O que é e como calcular a Proporção Áurea

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

A proporção áurea, também conhecida como “razão áurea” ou “número de ouro”, é uma constante matemática representada pela letra grega ϕ (phi), com valor de aproximadamente 1,6180339887…

Essa proporção aparece em muitos contextos, desde a arte e arquitetura até a natureza, onde é frequentemente associada à beleza e harmonia.

A proporção áurea foi estudada pelos matemáticos da Grécia Antiga, especialmente por Euclides em seu trabalho “Os Elementos”. No entanto, o termo “proporção áurea” foi popularizado apenas durante o Renascimento, quando artistas e arquitetos passaram a usá-la como uma ferramenta para alcançar uma estética harmoniosa.

Número de Ouro ϕ (phi): 1,6180339887…

O número de Ouro é um valor numérico irracional, possuindo infinitas casas decimais não periódicas. Após a parte inteira, o 1, seguem-se suas casas decimais sem repetição periódica.

Seu valor é aproximadamente obtido por meio de uma proporção, uma igualdade entre razões. É preciso que as partes destas razões obedeçam a uma proporção exata.

Para chegar ao número de Ouro, considere um segmento de reta separado em duas partes desiguais (um maior que o outro).

Razão áurea

A razão entre o comprimento total (a + b) e a parte maior (a) é igual à razão entre a parte maior (a) e a menor (b).

Matematicamente, isso pode ser expresso como:

começar estilo tamanho matemático 20px numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto a fim da fração igual a reto a sobre reto b fim do estilo

O nome proporção se refere ao processo matemático para medir os segmentos a e b que respeitem a igualdade.

Representação da Proporção Áurea, que está relacionada com a sequência e espiral de Fibonacci
A Proporção Áurea está relacionada com a Sequência e Espiral de Fibonacci.

Como calcular a Proporção Áurea (passo a passo)

Vamos aprender como calcular a Proporção Áurea usando um exemplo simples: um seguimento de reta com 100 cm será dividido em duas partes, conforme a proporção.

Passo 1: estabelecer a relação entre as partes a e b, sendo a a maior.

Temos que a + b = 100, logo, b = 100 - a.

Se 100 cm é a medida total e a é a maior, (100 - a) é a medida do segmento menor, o b.

Passo 2: substituir estes valores na proporção.

começar estilo tamanho matemático 16px numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto a fim da fração igual a reto a sobre reto b 100 sobre reto a igual a numerador reto a sobre denominador 100 espaço menos espaço reto a fim da fração fim do estilo

Passo 3: calcular a medida do seguimento maior a.

Aplicamos a propriedade fundamental das proporções multiplicando “cruzado”.

100 espaço sinal de multiplicação espaço abre parênteses 100 espaço menos espaço reto a fecha parênteses espaço igual a espaço reto a espaço. espaço reto a 10 espaço 000 espaço menos espaço 100 reto a igual a reto a ao quadrado negrito 0 negrito igual a negrito a à potência de negrito 2 negrito espaço negrito mais negrito espaço negrito 100 negrito a negrito espaço negrito menos negrito espaço negrito 10 negrito espaço negrito 000

Devemos resolver a equação do 2º grau, com a = 1, b = 100 e c = -10 000.

reto a com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de reto b ao quadrado menos 4 ac fim da raiz sobre denominador 2 reto a fim da fração reto a com 1 subscrito igual a numerador menos 100 mais raiz quadrada de 10 espaço 000 menos 4.1. parêntese esquerdo menos 10 espaço 000 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração reto a com 1 subscrito igual a numerador menos 100 mais raiz quadrada de 10 espaço 000 mais 40 espaço 000 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto a com 1 subscrito igual a numerador menos 100 mais raiz quadrada de 50 espaço 000 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto a com 1 subscrito aproximadamente igual numerador menos 100 espaço mais 223 vírgula 6 espaço sobre denominador 2 fim da fração reto a com 1 subscrito aproximadamente igual numerador 123 vírgula 6 sobre denominador 2 fim da fração aproximadamente igual 61 vírgula 8 espaço cm

Perceba que aproximamos o valor da raiz quadrada de 50 000.

Para o cálculo de a2, adotamos o valor negativo da raiz.

reto a com 2 subscrito aproximadamente igual numerador menos 100 espaço menos espaço 223 vírgula 6 espaço sobre denominador 2 fim da fração reto a com 2 subscrito aproximadamente igual menos numerador 323 vírgula 6 sobre denominador 2 fim da fração aproximadamente igual menos 161 vírgula 8 espaço cm

No entanto, como estamos tratando de uma medida de comprimento, não faz sentido considerar o valor negativo.

Passo 4: obter o valor do segmento menor, b.

Como a + b = 100 e, b = 100 - a, temos:

reto b aproximadamente igual 100 espaço menos espaço 61 vírgula 8 reto b aproximadamente igual 38 vírgula 2 espaço cm

Conclusão

Nosso segmento de reta com 100 cm foi dividido em duas partes conforme a proporção áurea, sendo:

a = 61,8 cm e b = 38,2 cm

Como calcular o Número de Ouro

O cálculo do Número de Ouro surge da divisão entre as partes segundo a proporção: começar estilo tamanho matemático 14px numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto a fim da fração igual a reto a sobre reto b fim do estilo. É preciso frisar que o resultado será sempre um valor aproximado, pois se trata de um número irracional.

Exemplo: cálculo do Número de Ouro a partir dos segmentos a = 61,8 cm e b = 38,2 cm.

Utilizaremos os valores calculados no exemplo anterior.

começar estilo tamanho matemático 16px numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto a fim da fração igual a numerador 61 vírgula 8 espaço mais espaço 38 vírgula 2 sobre denominador 61 vírgula 8 fim da fração igual a numerador 100 sobre denominador 61 vírgula 8 fim da fração aproximadamente igual 1 vírgula 6181229773  fim do estilo

O valor obtido é, aproximadamente o número ϕ (1,6180339887 ...).

Você pode se interessar pelos números irracionais e proporções.

Exemplos da Proporção Áurea na natureza

A proporção áurea aparece em vários fenômenos naturais, refletindo uma ordem e simetria que associamos muitas vezes à beleza.

  • Conchas de Nautilus: A espiral encontrada na concha do Nautilus segue aproximadamente a proporção áurea, à medida que as espirais crescem de maneira constante em relação ao centro.
  • Girassóis: As sementes de um girassol se organizam em espirais que seguem a proporção áurea, permitindo um arranjo compacto e eficiente.
  • Galáxias Espirais: A forma das galáxias espirais, como a Via Láctea, também segue uma espiral logarítmica relacionada à proporção áurea.

Proporção Áurea na Natureza

A Proporção Áurea na Arte e Arquitetura

A proporção áurea tem sido usada como uma ferramenta de design para criar obras de arte e arquitetura consideradas esteticamente agradáveis.

  • O Parthenon na Grécia: A fachada do Parthenon é projetada conforme a proporção áurea, refletindo a harmonia e equilíbrio desejados pelos gregos antigos.
  • A Mona Lisa de Leonardo da Vinci: A composição da Mona Lisa também utiliza a proporção áurea para distribuir os elementos da pintura de maneira equilibrada e harmoniosa.
Exemplos da proporção áurea na arte e arquitetura
Outros exemplos de aplicação da Proporção Áurea.

A Relação entre a Proporção Áurea e a Sequência de Fibonacci

A Proporção Áurea e a sequência Fibonacci estão diretamente ligadas.

À medida que avançamos na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...), a razão entre números consecutivos da sequência se aproxima do valor da Proporção Áurea (aproximadamente 1,618).

Por exemplo, ao dividir 21 por 13, ou 34 por 21, o quociente se aproxima cada vez mais de 1,618.

Elemento n Elemento n - 1 Divisão
2 1 2
3 2 1,5
5 3 1,666
8 5 1,6
13 8 1,625
21 13 1,615
34 21 1,619
55 34 1,617
89 55 1,618

Essa relação revela que a sequência de Fibonacci é uma representação numérica da Proporção Áurea, mostrando que padrões numéricos e proporções estão frequentemente presentes na natureza e na arte.

Essa conexão explica por que tanto a sequência quanto a Proporção Áurea aparecem em fenômenos naturais, como a disposição das pétalas de uma flor ou a formação de conchas.

Aprenda mais sobre a Sequência de Fibonacci.

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.