Potências de i (números complexos)
O número imaginário i é definido como a raiz quadrada de -1, ou seja: 
. As potências de i são os resultados dessa base elevada a um expoente qualquer (n), sendo n um número natural.
O número i, também conhecido como unidade imaginária, está incluído no conjunto dos números complexos, uma vez não ser possível classificá-lo como um número real. Perceba que não existe um número real que multiplicado por si, resulte em -1.
As potências de i seguem um padrão cíclico, simplificando seu cálculo para qualquer expoente n. Esse padrão se repete a cada quatro expoentes.
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Cálculo | Potência de i |
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Se  , então 
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Cálculo das potências de i
O padrão: i, - 1, - i, e 1 a cada quatro expoentes, nos permite calcular o resultado da potência de i para qualquer n, bastando o dividir por 4. O resto da divisão será utilizado como expoente substituto de n.
Tomemos o expoente 5, sua divisão é 
com resto 1, pois: 5 = 4 x 1 + 1. Logo, o resultado de 
é igual ao resultado de que, como visto no padrão, é o próprio i.
No caso em que o resto é zero, basta lembrar que qualquer número elevado a zero resulta em 1.
De forma geral, temos:
Exemplos de cálculos de potências de i
Com resto 1:
Com resto 2:
Com resto 3:
Com resto 0 (expoente múltiplo de 4):
Exercícios sobre potências de i
Exercício 1
Calcule 
.
a) i
b) -1
c) -i
d) 1
Para determinar a potência com a base i, dividimos o expoente 23 por 4.
Ou seja, o resto da divisão é 3, sendo o novo expoente de i.
O valor da potência de i elevado ao cubo é - i.
Exercício 2
Determine o valor de 
.
a) i
b) - 1
c) - i
d) 1
Para determinar uma potência de i com expoente maior que 4, basta dividir o expoente por 4. Após, considera-se o resto da divisão como novo expoente.
Temos que: 
. Logo, 2 é o resto da divisão.
Na primeiro repetição da sequência das potências de i, é sabido que 
.
Exercício 3
Determine o valor de 
.
a) i - 1
b) 1 + i
c) 1
d) 0
Para resolver a soma, reduzimos seus expoentes à primeira repetição do padrão das potências de i. Fazemos isso dividindo seus expoentes por 4 e utilizando o resto como novo expoente.
Assim,
Temos que .
O 100 é múltiplo do número 4, logo o resto é 0. Todo número elevado a zero resulta em 1.
Substituindo os valores na soma inicial:
Exercício 4
Se z é o número complexo (1 + i), onde i é a unidade imaginária, sendo i = , determine 
.
a) 16i + 2
b) 32i
c) 1 - 8i
d) 96
Sendo z = (1+i), elevando a décima potência, temos:
Podemos fatorar o 10 como 2 x 5.
Desenvolvendo o quadrado:
Sabemos que .
Elevando os termos a quinta potência:
A base 2 elevada a quinta potência é 32.
A potência de i elevada ao expoente 5 equivale ao expoente 1, sendo o próprio i.
Assim:
Aprenda mais sobre os números complexos.
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Referências Bibliográficas
IEZZI, Gelson; DOLCE, José Antonio. Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 5: Números Complexos e Polinômios. 10ª edição. São Paulo: Editora Atual, 2008.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações – Volume 3. São Paulo: Ática, 2014.
ASTH, Rafael. Potências de i (números complexos). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/potencia-de-i-numeros-complexos/. Acesso em:
