Potências de i (números complexos)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O número imaginário i é definido como a raiz quadrada de -1, ou seja: $raiz quadrada de menos 1 fim da raiz$ . As potências de i são os resultados dessa base elevada a um expoente qualquer (n), sendo n um número natural.

$começar estilo tamanho matemático 20px reto i à potência de reto n fim do estilo$

O número i, também conhecido como unidade imaginária, está incluído no conjunto dos números complexos, uma vez não ser possível classificá-lo como um número real. Perceba que não existe um número real que multiplicado por si, resulte em -1.

As potências de i seguem um padrão cíclico, simplificando seu cálculo para qualquer expoente n. Esse padrão se repete a cada quatro expoentes.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto i à potência de reto n fim do estilo$	Cálculo	Potência de i
$começar estilo tamanho matemático 16px reto i à potência de 1 fim do estilo$	$reto i à potência de 1 igual a negrito i$	$começar estilo tamanho matemático 16px reto i fim do estilo$
$começar estilo tamanho matemático 16px reto i ao quadrado fim do estilo$	Se $reto i igual a raiz quadrada de menos 1 fim da raiz$ , então $reto i ao quadrado igual a negrito menos negrito 1$	$começar estilo tamanho matemático 16px menos 1 fim do estilo$
$começar estilo tamanho matemático 16px reto i ao cubo fim do estilo$	$reto i ao cubo igual a reto i ao quadrado espaço. espaço reto i à potência de 1 espaço igual a espaço menos 1 espaço. espaço reto i espaço igual a espaço negrito menos negrito i$	$começar estilo tamanho matemático 16px menos reto i fim do estilo$
$começar estilo tamanho matemático 16px reto i à potência de 4 fim do estilo$	$reto i à potência de 4 igual a reto i ao cubo espaço. espaço reto i à potência de 1 igual a menos reto i espaço. espaço reto i igual a menos reto i ao quadrado igual a menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a negrito 1$	$começar estilo tamanho matemático 16px 1 fim do estilo$

Cálculo das potências de i

O padrão: i, - 1, - i, e 1 a cada quatro expoentes, nos permite calcular o resultado da potência de i para qualquer n, bastando o dividir por 4. O resto da divisão será utilizado como expoente substituto de n.

Tomemos o expoente 5, sua divisão é $5 dividido por 4 igual a 1 espaço$ com resto 1, pois: 5 = 4 x 1 + 1. Logo, o resultado de $reto i à potência de 5$ é igual ao resultado de $reto i à potência de 1$ que, como visto no padrão, é o próprio i.

$começar estilo tamanho matemático 18px reto i à potência de 5 igual a reto i à potência de espaço parêntese esquerdo resto espaço da espaço divisão espaço de espaço 5 espaço por espaço 4 parêntese direito fim do exponencial igual a reto i à potência de 1 igual a reto i fim do estilo$

No caso em que o resto é zero, basta lembrar que qualquer número elevado a zero resulta em 1.

De forma geral, temos:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto i à potência de reto n igual a reto i à potência de espaço parêntese esquerdo resto espaço de espaço reto n dividido por 4 parêntese direito fim do exponencial fim do estilo$

Exemplos de cálculos de potências de i

Com resto 1:

$reto i à potência de 37 igual a reto i à potência de espaço resto espaço de espaço 37 dividido por 4 fim do exponencial igual a reto i à potência de 1 igual a reto i$

Com resto 2:

$reto i à potência de 10 igual a reto i à potência de espaço resto espaço de espaço 10 dividido por 4 fim do exponencial igual a reto i ao quadrado igual a menos 1$

Com resto 3:

$reto i à potência de 203 igual a reto i à potência de espaço resto espaço de espaço 203 dividido por 4 fim do exponencial igual a reto i ao cubo igual a menos reto i$

Com resto 0 (expoente múltiplo de 4):

$reto i à potência de 208 igual a reto i à potência de espaço resto espaço de espaço 208 dividido por 4 fim do exponencial igual a reto i à potência de 0 igual a 1$

Exercícios sobre potências de i

Exercício 1

Calcule $reto i à potência de 23$ .

a) i

b) -1

c) -i

d) 1

Exercício 2

Determine o valor de $reto i à potência de 30$ .

a) i

b) - 1

c) - i

d) 1

Exercício 3

Determine o valor de $reto i à potência de 98 espaço mais espaço reto i à potência de 100$ .

a) i - 1

b) 1 + i

c) 1

d) 0

Exercício 4

Se z é o número complexo (1 + i), onde i é a unidade imaginária, sendo i = $raiz quadrada de menos 1 fim da raiz$ , determine $reto z à potência de 10$ .

a) 16i + 2

b) 32i

c) 1 - 8i

d) 96

Aprenda mais sobre os números complexos.

Você pode se interessar por mais exercícios sobre números complexos.

Referências Bibliográficas

IEZZI, Gelson; DOLCE, José Antonio. Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 5: Números Complexos e Polinômios. 10ª edição. São Paulo: Editora Atual, 2008.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações – Volume 3. São Paulo: Ática, 2014.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.