Propriedades da multiplicação

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

As 5 propriedades da multiplicação são: comutativa, distributiva, associativa, elemento neutro e elemento inverso.

Usamos essas propriedades para facilitar os cálculos. Regra geral, podem ser usadas com números reais e complexos. Ou seja: naturais, inteiros, cálculo algébrico (quando aparecem letras), racionais e irracionais.

Propriedade comutativa

A propriedade comutativa define que não importa a ordem dos valores que você está multiplicando. Pode trocar a ordem que o resultado é o mesmo.

$3 espaço x espaço 4 espaço igual a espaço 12 espaço$ e $4 espaço x espaço 3 espaço igual a espaço 12$

Sendo a e b números reais quaisquer, a comutativa garante que

$a espaço x espaço b espaço igual a espaço b espaço x espaço a$

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva é utilizada quando um número está multiplicando uma adição ou subtração. Basta multiplicar separado cada termo e, somar ou subtrair o resultado.

$2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo 8 espaço mais espaço 3 parêntese direito$

Podemos escrever, assim

$2 espaço sinal de multiplicação espaço 8 espaço mais espaço 2 espaço sinal de multiplicação espaço 3$

Nós distribuímos a multiplicação do 2, para o 8 e para o 3.

Com letras é a mesma coisa

$a espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo espaço b espaço mais espaço c espaço parêntese direito espaço$

$a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço mais espaço a espaço sinal de multiplicação espaço c$

Uma dica importante é colocar em evidência.

Esse é um procedimento, uma ferramenta matemática muito importante. É o caminho inverso da distribuição. Quando você distribui, é o caminho de ida e quando você coloca em evidência, faz o caminho de volta. Realmente, você volta ao ponto em que estava e isso pode parecer desnecessário, mas, não é. Na verdade, é fundamental.

Acompanhe o exemplo:

A letra $a$ aparece duas vezes, antes e depois da adição, multiplicando o $b$ e o. $c$

$a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço mais espaço a espaço sinal de multiplicação espaço c espaço igual a$

Nesse caso, você pode colocar o $a$ sozinho do lado de fora de um parêntese e, dentro, somar ou subtrair os termos que sobraram.

$a espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo b espaço mais espaço c parêntese direito$

Propriedade associativa

A propriedade associativa nos diz que se você está multiplicando três ou mais números, é possível associar os fatores de maneiras diferentes e mais convenientes.

Exemplo

$12 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço sinal de multiplicação espaço 5$

Nós podemos fazer

$parêntese esquerdo 12 espaço sinal de multiplicação espaço 4 parêntese direito espaço sinal de multiplicação espaço 5 igual a 48 espaço sinal de multiplicação espaço 5 igual a 240$

Ou, assim

$12 espaço sinal de multiplicação parêntese esquerdo 4 espaço sinal de multiplicação 5 parêntese direito igual a 12 espaço sinal de multiplicação espaço 20 igual a 240$

Elemento neutro

O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação não é à toa. Veja os seguintes exemplos:

$23 espaço x espaço 1 espaço igual a espaço 23$

$a espaço x espaço 1 espaço igual a espaço a$

Em uma multiplicação, o número 1 não altera o resultado, ele é neutro.

É importante notar que o -1 não é o elemento neutro. Um número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto.

$45 espaço x espaço menos 1 espaço igual a espaço menos espaço 45$

Elemento inverso

O inverso de um número $a$ qualquer, é o valor que multiplicado a ele, resulta em 1.

$a espaço sinal de multiplicação espaço 1 sobre a espaço igual a espaço a sobre a espaço igual a espaço 1$

Para encontrar o inverso de um número, você vai usar uma fração. Basta colocar o 1 no numerador e o número que está invertendo no denominador.

O inverso de $9$ é $1 sobre 9$

Você também pode se interessar por:

Exercícios

Questão 1

O produto de dois números naturais a e b é igual a 345.

$a espaço sinal de multiplicação espaço b espaço igual a espaço 345$

Qual o valor do produto b x a?

Qual o nome da propriedade da multiplicação utilizada?

Ver Resposta

O resultado é o mesmo, 345. A propriedade utilizada foi a comutativa, uma vez que alterando a ordem dos fatores o produto é o mesmo.

Questão 2

Cálculo mental

Use uma propriedade que lhe ajude a realizar mentalmente estas expressões.

a) $3 espaço x espaço 12 espaço x espaço 30 espaço igual a$

b) $125 espaço sinal de multiplicação espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço sinal de multiplicação espaço 7 igual a$

Veja a explicação de uma possível estratégia.

Ver Resposta

a) Seria interessante associar 3 x 30. Depois, fazemos 90 x 12.

Veja que o 12 pode ser escrito como 10 + 2. Agora você pode usar a distributiva,

$90 sinal de multiplicação abre parênteses 10 mais 2 fecha parênteses$ = Repare que neste caso, o 90 está em evidência.

$90 sinal de multiplicação 10 mais 90 sinal de multiplicação 2 igual a 900 mais 180 igual a 1080$

b) Vamos associar 125 x 4 e 3 x 7, resultando em

$500 espaço sinal de multiplicação espaço 21 igual a 500 sinal de multiplicação parêntese esquerdo 20 mais 1 parêntese direito igual a espaço u s a n d o espaço a espaço d i s t r i b u t i v a 500 sinal de multiplicação 20 espaço mais espaço 500 sinal de multiplicação 1 igual a 10000 espaço mais espaço 500 igual a 10500$

Questão 3

(Unicamp - SP) Na expressão, $m espaço igual a espaço a espaço mais espaço 3 b espaço menos espaço 2 c$ as letras a, b e c só podem assumir os valores 0, 1 e 2.

a) Qual é o valor de m para a = 1, b = 1 e c = 2?

b) Qual é o maior valor possível para m?

c) Determine a, b e c de modo que m = -4.

Ver Resposta

a) Basta substituir os valores na fórmula.

$m espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 1 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 2 m espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 3 espaço menos espaço 4 m espaço igual a espaço 0$

b) O c deve assumir o menor valor, pois, está sendo multiplicado por -2. Assim, "sobra" mais para o m.

$m espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 2 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 0 m espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço 6 m espaço igual a espaço 8$

$m espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço 3 sinal de multiplicação 0 espaço menos espaço 2 sinal de multiplicação 4 espaço m espaço igual a espaço menos 4$

Questão 4

Nas seguintes equações, identifique qual propriedade foi utilizada.

a) $parêntese esquerdo menos espaço 7 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo mais 8 parêntese direito espaço espaço igual a espaço espaço parêntese esquerdo mais 8 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito$

b) $1 espaço. espaço parêntese esquerdo espaço menos 34 espaço parêntese direito espaço igual a espaço menos 34$

c) $9 espaço X espaço 27 espaço menos espaço 9 espaço x espaço 33 espaço igual a espaço 9 espaço parêntese esquerdo espaço 27 espaço menos espaço 33 espaço parêntese direito$

d) $25 espaço x espaço parêntese esquerdo espaço 9 espaço x espaço 4 espaço parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo espaço 25 espaço x espaço 9 espaço parêntese direito espaço x espaço 4$

Ver Resposta

a) comutativa

b) elemento neutro

c) distributiva (colocando em evidência)

d) associativa

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Que tal um up?

Corretor de Redação
para o Enem Ferramenta Inteligente com feedback instantâneo

Exercícios exclusivos Acesso a centenas de questões com gabaritos

Estude sem publicidade Navegação limpa e focada para evitar distrações