Retas Perpendiculares

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Retas perpendiculares são as que formam um ângulo de 90º ao se cruzarem. Essa definição é suficiente para a geometria plana, mas ao avançar para a geometria analítica, de coordenadas, é preciso definir ângulos e localizações.

Utilizamos o símbolopara indicar que duas retas são perpendiculares e podemos identificá-las analisando a relação entre seus coeficientes angulares.

A reta r de coeficiente angular m₁ e a reta s de coeficiente angular m₂, serão perpendiculares se:

Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Oposto de um número é quando seu sinal é trocado, inverso, é quando fazemos uma fração e colocamos esse número no denominador.

Exemplo

Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,4) e é perpendicular à reta r cuja equação é x - y -1 = 0.

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta r isolando y do lado esquerdo.

y = x -1

Com a equação na forma reduzida, o coeficiente angular é o número que multiplica o x, portanto, = 1.

Como s é perpendicular a reta r, vamos considerar a condição de perpendicularismo.

Como s passa pelo ponto (1,4), podemos escrever:

Assim, a equação da reta s na forma geral, perpendicular a reta r e que passa pelo ponto P é:

Para saber mais, leia também Equação da Reta.

Método Prático

Quando conhecemos as equações gerais de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares através dos coeficientes (a, b e c) de x e de y.

Assim, dadas as retas:

r: a_r x + b_r y + c_r = 0 e

s: a_s x + b_s y + c_s = 0

Elas serão perpendiculares se:

Exemplo

Reta r: -2x + y + 2 = 0

Reta s: x + 2y - 3 = 0

-2.1 + 1.2 = 0

Portanto, r⊥s (A reta r é perpendicular a reta s).

Demonstração

Para chegar a essa condição, consideramos que a inclinação das retas r e s são respectivamente , conforme a figura abaixo:

No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação:

Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos:

Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:

Usando as relações de soma de arcos:

Sendo sen 90º = 1 e cos 90º = 0 e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:

Considerando

e que

temos:

Conforme queríamos demonstrar.

Exercícios Resolvidos

Questão 1

São dados os pontos A(3,4) e B(1,2). Determine a equação da mediatriz de .

Questão 2

Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r de equação 3x + 2y - 4 = 0, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.

Para saber mais, leia também

• Mediatriz
• Retas
• Retas Paralelas
• Retas Concorrentes
• Geometria analítica

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.