Soma e Produto

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x² - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros. Onde S é a soma e P o produto.

Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:

Sendo,

x₁ e x₂: raízes da equação do 2º grau
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau

Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.

Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.

Como encontrar esses números?

Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a . Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.

Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.

Para tal, teremos as seguintes situações:

• P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
• P > 0 e S < 0 ⇒ As duas raízes são negativas.
• P < 0 e S > 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.
• P < 0 e S < 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é negativa.

Exemplos

a) Encontre as raízes da equação x² - 7x + 12 = 0

Os coeficientes são:
a = 1
b = -7
c = 12

Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12.
Sabemos que:

• 1 . 12 = 12
• 2 . 6 = 12
• 3 . 4 = 12

Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7.
Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7

b) Encontre as raízes da equação x² + 11x + 24

Os coeficientes são:
a = 1
b = 11
c = 24

Procurando o produto igual a 24, temos:

• 1 . 24 = 24
• 2 . 12 = 24
• 3 . 8 = 24
• 4 . 6 = 24

Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.

c) Quais são as raízes da equação 3x² - 21x - 24 = 0?

Os coeficientes são:
a = 3
b = -21
c = -24

O produto poderá ser:

• 1 . 8 = 8
• 2 . 4 = 8

Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.

Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7

d) Encontre as raízes da equação x² + 3x + 5

Os coeficientes são:
a = 1
b = 3
c = 5

O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.

Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆<0).

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

O valor do produto das raízes da equação 4x² + 8x - 12 = 0 é:

a) - 12
b) 8
c) 2
d) - 3
e) não existe

Exercício 2

A equação x² - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a:

a) - 6 e - 5
b) - 1 e - 30
c) 6 e - 5
d) 30 e 1
e) - 6 e 5

3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x² + px + q = 0, então o valor de p + q é :

a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2

Pratique mais exercícios sobre equações do 2° grau.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.