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Exercícios sobre distância entre dois pontos

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.

Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Questão 1

Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?

Resposta correta: dPQ = 7.

Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.

reto d com PQ subscrito igual a abre barra vertical reto x com reto P subscrito menos reto x com reto Q subscrito fecha barra vertical

Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos

reto d com PQ subscrito igual a abre barra vertical reto x com reto P subscrito menos reto x com reto Q subscrito fecha barra vertical reto d com PQ espaço subscrito fim do subscrito igual a abre barra vertical menos 4 menos 3 fecha barra vertical reto d com PQ espaço subscrito fim do subscrito igual a 7

Veja a representação dos pontos no plano cartesiano.

Distância entre dois pontos paralelos ao eixo x

dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 2

Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).

Resposta correta: dRT = 2.

As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.

reto d com RT subscrito igual a abre barra vertical reto y com reto R subscrito menos reto y com reto T subscrito fecha barra vertical

Substituindo as ordenadas na fórmula, temos

reto d com RT subscrito igual a abre barra vertical reto y com reto R subscrito menos reto y com reto T subscrito fecha barra vertical reto d com RT espaço subscrito fim do subscrito igual a abre barra vertical 4 menos 2 fecha barra vertical reto d com RT espaço subscrito fim do subscrito igual a 2

Observe a representação dos pontos no plano cartesiano.

Distância entre pontos paralelos ao eixo y

dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Veja também: Distância entre dois pontos

Questão 3

Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?

Resposta correta: dDC = raiz quadrada de 13.

Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.

Distância entre dois pontos

Sendo reto d com DP subscrito espaço igual a espaço abre barra vertical reto x com reto D subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha barra vertical e reto d com CP subscrito espaço igual a espaço abre barra vertical reto y com reto D subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha barra vertical, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.

parêntese esquerdo reto d com DC subscrito parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses reto d com DP subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto d com CP subscrito fecha parênteses ao quadrado parêntese esquerdo reto d com DC subscrito parêntese direito ao quadrado espaço igual a abre parênteses reto x com reto D subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto D subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço reto d com DC subscrito espaço espaço espaço espaço igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto D subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto D subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz

Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:

espaço reto d com DC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto D subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto D subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 2 menos 5 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 menos 3 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 4 fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de 13

A distância entre os pontos é de dDC = raiz quadrada de 13 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 4

O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?

Resposta correta: 10 parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 espaço mais espaço 2 parêntese direito.

1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 2 menos parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 2 menos parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 6 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 8 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 36 espaço mais espaço 64 fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 100 reto d com AB subscrito igual a 10

2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.

reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 2 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 2 menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 14 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 196 fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de 200 reto d com AC subscrito igual a 10 raiz quadrada de 2

3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.

reto d com B reto C subscrito fim do subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto B subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto B subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 6 menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço 6 ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de 64 espaço mais espaço 36 fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de 100 reto d com B reto C subscrito fim do subscrito igual a 10

Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:

reto p espaço igual a espaço reto L com AB subscrito espaço mais espaço reto L com BC subscrito espaço mais espaço reto L com AC subscrito reto p espaço igual a espaço 10 espaço mais espaço 10 espaço mais espaço 10 raiz quadrada de 2 reto p espaço igual a 10 parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 espaço mais espaço 2 parêntese direito

Questão 5

Um móvel percorre a trajetória A→B→C.

Exercício 5

Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:

A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.

d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito mais d parêntese esquerdo B vírgula C parêntese direito raiz quadrada de parêntese esquerdo x com A subscrito menos x com B subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y com A subscrito menos y com B subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz mais raiz quadrada de parêntese esquerdo x com B subscrito menos x com C subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y com B subscrito menos y com C subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de parêntese esquerdo 0 menos 3 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 0 menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz mais raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 menos 7 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz mais raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado mais 3 ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de 9 mais 4 fim da raiz mais raiz quadrada de 16 mais 9 fim da raiz raiz quadrada de 13 mais raiz quadrada de 25 raiz quadrada de 13 mais 5 espaço m

Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60:

3 vírgula 60 espaço mais espaço 5 espaço aproximadamente igual espaço 8 vírgula 60 espaço m

Questão 6

Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c).

Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4).

Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:

Resposta correta: c = 1.

Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que:

d parêntese esquerdo L vírgula espaço P parêntese direito espaço igual a espaço d parêntese esquerdo P vírgula espaço C parêntese direito raiz quadrada de parêntese esquerdo x com L subscrito menos x com P subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y com L subscrito menos y com P subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo x com P subscrito menos x com C subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y com P subscrito menos y com C subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz

Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes.

abre parênteses raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 menos 5 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 6 menos c parêntese direito ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de parêntese esquerdo 5 menos 9 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo c menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo 6 menos c parêntese direito ao quadrado igual a parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo c menos 4 parêntese direito ao quadrado 4 mais parêntese esquerdo 6 menos c parêntese direito ao quadrado igual a 16 mais parêntese esquerdo c menos 4 parêntese direito ao quadrado 4 mais 36 menos 2.6. c mais c ao quadrado igual a 16 mais c ao quadrado menos 2. c.4 mais 4 ao quadrado 4 mais 36 menos 12 c mais c ao quadrado igual a 16 mais c ao quadrado menos 8 c mais 16 40 menos 12 c mais c ao quadrado igual a 32 mais c ao quadrado menos 8 c 40 menos 12 c igual a 32 menos 8 c 40 menos 32 igual a menos 8 c mais 12 c 8 igual a 4 c 8 sobre 4 igual a c 2 igual a c

Questão 7

(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12

Alternativa correta: c) 1 ou 13.

1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 menos 6 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 64 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz 10 espaço igual a espaço raiz quadrada de 64 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz

2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.

10 ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses raiz quadrada de 64 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado 100 espaço igual a espaço 64 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito ao quadrado 100 espaço igual a espaço 64 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito. parêntese esquerdo reto y menos 7 parêntese direito 100 espaço igual a espaço 64 espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos 7 reto y espaço menos 7 reto y espaço mais 49 100 espaço igual a espaço 64 espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos 14 reto y espaço mais 49 reto y ao quadrado espaço menos 14 reto y espaço mais 64 espaço mais espaço 49 espaço menos espaço 100 espaço igual a espaço 0 reto y ao quadrado espaço menos 14 reto y espaço mais 13 espaço igual a espaço 0

3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação.

reto y espaço igual a espaço numerador menos espaço reto b espaço mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos espaço 4. reto a. reto c fim da raiz sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y espaço igual a espaço numerador 14 mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 14 parêntese direito ao quadrado menos espaço 4. espaço 1. espaço 13 fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto y espaço igual a espaço numerador 14 espaço mais ou menos raiz quadrada de 196 espaço menos 52 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto y espaço igual a espaço numerador 14 espaço mais ou menos raiz quadrada de 144 sobre denominador 2 fim da fração reto y espaço igual a espaço numerador 14 espaço mais ou menos 12 sobre denominador 2 fim da fração espaço espaço tabela linha com célula com reto y apóstrofo espaço igual a numerador 14 mais espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a 26 sobre 2 igual a 13 fim da célula linha com célula com reto y apóstrofo apóstrofo espaço igual a numerador 14 espaço menos 12 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a 2 sobre 2 igual a 1 fim da célula fim da tabela em moldura esquerda fecha moldura

Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13.

Questão 8

(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:

a) equilátero.
b) retângulo e isósceles.
c) isósceles e não retângulo.
d) retângulo e não isósceles.
e) n.d.a.

Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo.

1º passo: Calcular a distância de AB.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 5 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 25 espaço mais espaço 1 fim da raiz reto d com AB subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 26

2º passo: Calcular a distância de AC.

reto d com AC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 menos parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de 1 espaço mais espaço 25 fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de 26

3º passo: Calcular a distância de BC.

reto d com BC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto B subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto B subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 2 menos parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 6 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de 36 espaço mais espaço 36 fim da raiz reto d com BC subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 72 reto d com B C subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço 6 raiz quadrada de 2

4º passo: Julgar as alternativas.

a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente.

b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.

abre parênteses reto d com BC subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses reto d com AB subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto d com AC subscrito fecha parênteses ao quadrado abre parênteses raiz quadrada de 72 fecha parênteses ao quadrado igual a espaço abre parênteses raiz quadrada de 26 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses raiz quadrada de 26 fecha parênteses ao quadrado 72 espaço igual a espaço 26 espaço mais espaço 26 72 espaço não igual espaço 56

c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais.

d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles.

e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles.

Questão 9

(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é

a) 1
b) 2
c) 4
d) raiz quadrada de 2
e) raiz quadrada de 3

Alternativa correta: b) 2.

Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida.

Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 1 menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 0 menos 0 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço 0 fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 4 reto d com AB subscrito igual a espaço 2

Logo, dAB = dAC= 2.

Questão 10

(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

a) X = 8
b) X = 6
c) X = 15
d) X = 12
e) X = 7

Alternativa correta: a) X = 8.

1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias.

Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:

reto d com AC subscrito igual a reto d com BC subscrito raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto B subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto B subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses menos 1 menos espaço 2 fecha parênteses ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses menos 7 espaço menos espaço 2 fecha parênteses ao quadrado fim da raiz

Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:

abre parênteses raiz quadrada de abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses menos 1 menos espaço 2 fecha parênteses ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses menos 7 espaço menos espaço 2 fecha parênteses ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado parêntese esquerdo menos 1 menos reto x com reto c subscrito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 5 menos reto x com reto c subscrito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 9 parêntese direito ao quadrado

2º passo: Resolver os produtos notáveis.

abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses. abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a 1 espaço mais espaço reto x com reto C subscrito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço abre parênteses menos 1 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço mais espaço 2 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 1

abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses. abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses espaço abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 25 espaço menos espaço 5 reto x com reto C subscrito espaço menos espaço 5 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito abre parênteses 5 espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço menos espaço 10 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 25 fecha parênteses

3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la.

parêntese esquerdo reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço mais espaço 2 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço menos espaço 10 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 25 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 9 parêntese direito ao quadrado reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço mais espaço 2 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 1 espaço mais espaço 9 espaço igual a espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço menos espaço 10 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 25 espaço mais espaço 81 reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço mais espaço 2 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 10 espaço igual a espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço menos espaço 10 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 106 reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito com 2 sobrescrito mais espaço 2 reto x com reto C subscrito espaço mais espaço 10 reto x com reto C subscrito espaço igual a 106 espaço menos 10 12 reto x com reto C subscrito espaço igual a espaço 96 reto x com reto C subscrito espaço igual a 96 sobre 12 reto x com reto C subscrito espaço igual a 8

Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8.

Questão 11

(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4
b) 4√2
c) 8
d) 8√2
e) 16

Alternativa correta: a) 4.

1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C.

reto d com AC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 menos 0 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 menos 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AC subscrito igual a raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 4 fim da raiz reto d com AC subscrito igual a espaço raiz quadrada de 8

2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras.

Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º.

Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.

reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b à potência de 2 espaço fim do exponencial mais espaço reto c ao quadrado parêntese esquerdo raiz quadrada de 8 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto L ao quadrado espaço mais espaço reto L ao quadrado 8 espaço igual a espaço 2 reto L ao quadrado reto L ao quadrado espaço igual a espaço 8 sobre 2 reto L espaço igual a espaço raiz quadrada de 4 reto L espaço igual a espaço 2

3º passo: Calcular a área do quadrado.

Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:

reto A espaço igual a espaço reto L ao quadrado reto A espaço igual a espaço 2 ao quadrado reto A espaço igual a espaço 4

Questão 12

(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:

a) 14
b) 13
c) 12
d) 9
e) 8

Alternativa correta: b) 13.

Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula.

reto d com MN subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto M subscrito espaço menos espaço reto x com reto N subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto M subscrito espaço menos espaço reto y com reto N subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com MN subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 4 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 5 menos 7 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com MN subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 5 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com MN subscrito igual a raiz quadrada de 25 espaço mais espaço 144 fim da raiz reto d com MN subscrito igual a espaço raiz quadrada de 169 reto d com MN subscrito igual a espaço 13

Questão 13

(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a:

a) 2√2;
b) 3√2;
c) 2√3;
d) 3√3.

Resposta correta: a) 2√2

Fazendo:

A(-1,-1)
B(1, 1)

d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo x com B subscrito menos x com A subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y com B subscrito menos y com A subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 1 menos 1 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo menos 1 menos 1 parêntese direito ao quadrado fim da raiz d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a raiz quadrada de 4 mais 4 fim da raiz d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a raiz quadrada de 8 d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a 2 raiz quadrada de 2

Questão 14

(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são:

a) 6 e - 2
b) 2 + 2i e 2 - 2i
c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3
d) 2 e 0
e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6

Resposta correta: a) 6 e - 2

d parêntese esquerdo A vírgula B parêntese direito igual a 5 igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz 5 igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz 5 igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz 5 igual a raiz quadrada de 9 mais y ao quadrado mais 4 y mais 4 fim da raiz 5 igual a raiz quadrada de y ao quadrado mais 4 y mais 13 fim da raiz

Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado.

5 ao quadrado igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de y ao quadrado mais 4 y mais 13 fim da raiz parêntese direito ao quadrado 25 igual a y ao quadrado mais 4 y mais 13 y ao quadrado mais 4 y mais 13 menos 25 igual a 0 y ao quadrado mais 4 y menos 12 igual a 0

Determinando o delta da equação do segundo grau:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 4 ao quadrado menos 4.1. menos 12 incremento igual a 16 menos 4.1. menos 12 incremento igual a 16 mais 48 incremento igual a 64

Determinando as raízes da equação:

y com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 4 mais 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2 y 2 igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 4 menos 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 6

Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y.

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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