Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.
Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.
Questões nível fácil
Questão 1
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.
Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.
Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.
As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.
Questão 2
Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?
Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.
1º passo: determinar o número de eventos possíveis.
Para cada dado há 6 possibilidades de resultado. São seis possibilidades para um dado e seis possibilidades para ou outro.
Sendo assim, o número de eventos possíveis é:
U = 6 x 6 = 36 possibilidades
2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.
Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, os resultados com números iguais são:
Existem seis resultáveis favoráveis.
3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.
Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.
Questão 3
Um saco contém 8 bolas de mesmo tamanho, mas com cores diferentes: três azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.
A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.
Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.
Questão 4
Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas possuindo quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?
Resposta correta: 7,7%
O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.
O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.
Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.
Questão 5
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Resposta correta: 0,5 ou 50%.
A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.
A quantidade de números múltiplos de dois são:
A =
Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.
Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
1.º lançamento->
2.º lançamento
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,4)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
1.º lançamento->
2.º lançamento
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Resposta correta: 7,8%.
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7
k = 3
(em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.
Questão 9
Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.
Resposta: 31,25%
A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2
A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2
A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:
A . A . B . B . B
Desta forma, em probabilidades
Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.
Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:
A probabilidade final será calculada como:
Questão 10
Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem apenas ao telejornal A, 250 apenas ao telejornal B e 50 assistem ao A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?
Resposta: 62,5%
Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste ao telejornal A,
O evento B, sortear uma pessoa que assiste ao B,
A interseção são as pessoas que assistem aos dois telejornais, 50 pessoas.
Desta forma, temos que
A probabilidade de sortear alguém que assista a A ou O é de 62,5%.
(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
2º passo: interpretar o resultado.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
Questão 12
(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Cor
Urna 1
Urna 2
Amarela
4
0
Azul
3
1
Branca
2
2
Verde
1
3
Vermelha
0
4
Uma jogada consiste em:
1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha
Alternativa correta: e) Vermelha.
Analisando os dados da questão, temos:
Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.
Questão 13
(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14
Alternativa correta: a) 1/2.
1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 14
(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números
escolhidos em uma cartela
Preço da Cartela
6
2,00
7
12,00
8
40,00
9
125,00
10
250,00
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo
Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.
Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).
Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:
Arthur: 250 x C(6,6)
Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)
Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)
Douglas: 4 x C(9,6)
Eduardo: 2 x C(10,6)
De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.
Questão 15
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Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
ASTH, Rafael. Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas).Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-probabilidade/. Acesso em: