Exercícios de Conjuntos Numéricos (com gabarito explicado)

Alternativa correta: c) O número 1,83333... é um número racional.

Vamos analisar cada uma das afirmações:

a) Falsa. Realmente todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma de fração. Por exemplo, o número - 7, que é inteiro pode ser escrito, na forma de fração, como -7/1. Contudo, nem todo número real é inteiro, por exemplo 1/2 não é um número inteiro.

b) Falsa. O conjunto dos números racionais não possui nenhum número em comum com os irracionais, pois um número real ou é racional ou é irracional. Portanto, a intersecção é um conjunto vazio.

c) Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente. Esse número pode ser escrito na forma de fração como 11/6, portanto é um número racional.

d) Falsa. Por exemplo, 7 dividido por 3 é igual a 2,33333..., que é uma dízima periódica, logo não é um número inteiro.

Alternativa correta: d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2.

Primeiro vamos substituir as letras pelos valores indicados e resolver a expressão:

Note que (- 6)² é diferente de - 6², a primeira operação pode ser feita como: (-6)² = (- 6) . (- 6) = 36. Já sem os parênteses, apenas o 6 está elevado ao quadrado, ou seja - 6² = - (6.6) = -36.

Continuando a resolução, temos:

Observe que, como o índice da raiz é um número ímpar (raiz cúbica), existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Se o índice da raiz fosse um número par, o resultado seria um número complexo.

Agora, vamos analisar cada uma das opções apresentadas:

A opção a está errada, pois a resposta é um número negativo que não faz parte do conjunto dos números naturais.

O número - 3 não é um decimal não periódico infinito, portanto, não é um irracional, logo a letra b também não é a solução correta.

A letra c também está errada, pois o número - 3 é um número pertencente ao conjunto dos números reais.

A opção correta só pode ser a letra d e realmente o resultado da expressão é um número inteiro e o módulo de -3 é 3 que é maior que 2.

Alternativa correta: a)

A alternativa "a" é a única em que um conjunto está incluído em outro. O conjunto A inclui o conjunto B ou o Conjunto B está incluído em A.

Alternativa correta: c).

Os elementos 2, 4 e 8 são comuns aos dois conjuntos. Por isso, estão localizados no subconjunto A ∩ B (A intersecção com B).

Alternativa correta: d)

A única alternativa que satisfaz a condição inicial de B ∩ C (por conta dos parenteses) e, posteriormente, a união com A.

Respostas:
a) 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.
b) 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.
c) 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.

Para resolver esse problema, vamos fazer um diagrama para melhor visualizar a situação.

Devemos começar sempre pela intersecção dos três conjuntos. Depois vamos incluir o valor da intersecção de dois conjuntos, e por fim, a porcentagem de pessoas que só compram uma única marca de produto.

Percebe-se que no valor da porcentagem dos que consomem dois produtos, também está incluído a porcentagem das pessoas que consomem os três produtos.

Por isso, no diagrama indicamos a porcentagem de quem consome apenas dois produtos. Para tal, devemos subtrair a porcentagem de quem consome os três produtos da que consome dois.

Por exemplo, a porcentagem indicada que consome o produto A e o produto B é de 20%, entretanto neste valor está contabilizado os 2% relativos a quem consome os três produtos.

Fazendo a subtração destes valores, ou seja 20% - 2% = 18%, encontramos a porcentagem de consumidores que compram os produtos A e B apenas.

Considerando esses cálculos, o diagrama para a situação descrita ficará conforme a figura abaixo:

Com base neste diagrama, podemos agora passar a responder as perguntas propostas.

a) A porcentagem de quem não compra nenhum produto é igual ao todo, ou seja 100% tirando que consome algum produto. Assim, devemos fazer o seguinte cálculo:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Logo, 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.

b) A porcentagem dos consumidores que compram o produto A e B e não compram o produto C é encontrada fazendo a subtração:

20 - 2 = 18%

Portanto, 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.

c) Para encontrar a porcentagem das pessoas que consomem pelo menos um dos produtos, basta somar todos os valores que constam no diagrama. Assim, temos:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Desta forma, 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.

Respostas:

a) Os números que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos é a interseção entre A e B.

Assim, os elementos de C são os múltiplos comuns a 2 e 3 que pertençam ao intervalo que o determina.

Para facilitar a visualização, vamos localizar estes números na reta numérica, fazendo uma aproximação da segunda casa decimal.

Fazendo uma representação esquemática:

Assim, o conjunto C, está compreendido entre 11,3 e 23,8. Os múltiplos comuns a 2 e 3 compreendidos neste intervalo, são:

M(2) = {12, 14, 16, 18, 20, 22}
M(3) = {12, 15, 18, 21}

b) O conjunto C está contido conjunto Z, dos números naturais.

Alternativa correta: c)118

Podemos resolver essa questão construindo um diagrama. Para isso, vamos começar com as páginas que são comuns dos três catálogos, ou seja, 4 páginas.

A partir daí, indicaremos os valores, subtraindo os que já foram contabilizados. Assim, o diagrama ficará conforme indicado abaixo:

Os valores foram encontrados fazendo os seguintes cálculos:

• Intersecção C1, C2 e C3 : 4
• Intersecção C2, C3: 5 - 4 = 1
• Intersecção C1 e C3 : 6 - 4 = 2
• Intersecção C1 e C2 : 10 - 4 = 6
• Apenas C1: 50 - 12 = 38
• Apenas C2: 45 - 11 = 34
• Apenas C3: 40 - 7 = 33

Para encontrar o número de páginas, basta somar todos esses valores, ou seja:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Alternativa correta: e) 19 ºC

Para resolver a questão, basta fazer a leitura da escala da coluna da direita do filete preto, que representa o registro da temperatura máxima.

Alternativa correta: e) 8/35

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar a razão entre a altura da coluna B pela coluna A nos dois gráficos. Essas razões são encontradas contando quantas divisões tem em cada coluna.

Note que no gráfico 1 a coluna A está dividida em 7 "pedaços" iguais, já a coluna B em 3. No gráfico 2 a coluna A está dividida em 5 "pedaços" iguais e a coluna B em apenas 1.

Portanto, as frações que representam as razões da altura da coluna B pela coluna A pode ser indicada por

Agora basta resolver a subtração entre essas duas frações, Assim, temos:

Alternativa correta: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Note que a figura expressa na questão, tanto no eixo y como no x, compreende os números naturais (ℕ x ℕ) entre 0 e 10. Temos que: 0 ≤ y ≤ 10 e 0 ≤ x ≤ 10.

Assim: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) e x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Entretanto, a figura representada é um triângulo. Para satisfazer essa condição, nos pares ordenados y não poderá ser maior que x.

Veja que os valores de y são limitados pela igualdade com os valores de x, formando a hipotenusa desse triângulo retângulo: (0;0), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)...(10;10).

Desse modo, temos que: y ≤ x.

Logo, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.