Exercícios de equações irracionais (resolvidos)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Pratique seus conhecimentos sobre equações irracionais e tire suas dúvidas acompanhando as resoluções.

Exercício 1

Resolva a seguinte equação irracional: $raiz quadrada de x menos espaço 2 raiz quadrada de x mais espaço 1 espaço igual a espaço 0$ .

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Resposta: x = 1

Como as raízes possuem o mesmo radicando e o mesmo índice, podemos subtraí-las.

$raiz quadrada de x espaço menos espaço 2 raiz quadrada de x espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço 0 menos raiz quadrada de x mais 1 igual a 0 1 igual a raiz quadrada de x 1 ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de x fecha parênteses ao quadrado 1 ao quadrado igual a x 1 igual a x$

Exercício 2

Determine x em $raiz quadrada de x mais 3 fim da raiz espaço menos espaço 2 espaço igual a espaço 5$ .

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Resposta:

1º passo: deixar a raiz sozinha do lado esquerdo, somando 2 aos dois lados da equação.

$raiz quadrada de x mais 3 fim da raiz espaço menos espaço 2 espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de x mais 3 fim da raiz espaço menos espaço 2 espaço mais espaço 2 espaço igual a espaço 5 espaço mais espaço 2 raiz quadrada de x mais 3 fim da raiz espaço igual a espaço 7$

2º passo: elevar os dois lados ao quadrado.

$abre parênteses raiz quadrada de x mais 3 fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço 7 ao quadrado x mais 3 igual a 49$

3º passo: subtrair 3 nos dois lados da equação.

$x mais 3 espaço menos espaço 3 espaço igual a 49 espaço menos espaço 3 x igual a 46$

Exercício 3

Resolva a equação $raiz quadrada de 2 x mais 1 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz igual a espaço 4$ .

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Resposta: 84

Passo 1: isolar uma das raízes.

Como há mais de uma raiz quadrada, vamos isolar uma delas.

$raiz quadrada de 2 x mais 1 fim da raiz espaço igual a espaço 4 mais espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz$

Passo 2: elevar os dois lados da equação ao quadrado.

$abre parênteses raiz quadrada de 2 x mais 1 fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses 4 mais espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço espaço espaço$

Desenvolvendo os quadrados:

$2 x mais 1 espaço igual a espaço 4 ao quadrado mais 2. espaço 4 espaço. espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz espaço mais espaço abre parênteses raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz fecha parênteses ao quadrado 2 x mais 1 espaço igual a 16 espaço mais espaço 8 raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz espaço mais espaço x espaço menos espaço 3$

Passo 3: isolar a raiz que sobrou.

$2 x mais 1 espaço igual a 16 espaço mais espaço 8 raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz espaço mais espaço x espaço menos espaço 3 2 x mais 1 espaço menos espaço 16 espaço menos espaço x espaço mais espaço 3 igual a 8 raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz x menos 12 igual a 8 raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz$

Passo 4: elevamos os dois membros ao quadrado.

$abre parênteses x menos 12 fecha parênteses ao quadrado igual a abre parênteses 8 raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz fecha parênteses ao quadrado x ao quadrado mais 2 x. parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito ao quadrado igual a 64. parêntese esquerdo x menos 3 parêntese direito x ao quadrado menos 24 x mais 144 igual a 64 x menos 192 x ao quadrado menos 88 x mais 336 espaço igual a espaço 0$

Resolvendo a equação do segundo grau, temos as raízes 4 e 84.

É preciso testar as raízes na equação irracional.

Testando o 4:

$raiz quadrada de 2 x mais 1 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz igual a espaço 4 raiz quadrada de 2.4 mais 1 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de 4 menos 3 espaço fim da raiz igual a espaço 4 raiz quadrada de 9 menos raiz quadrada de 1 igual a 4 3 menos 1 igual a 4 2 não igual 4$

Assim, 4 não é raiz da equação irracional.

Testando o 84:

$raiz quadrada de 2 x mais 1 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de x menos 3 espaço fim da raiz igual a espaço 4 raiz quadrada de 2.84 mais 1 fim da raiz espaço menos espaço raiz quadrada de 84 menos 3 espaço fim da raiz igual a espaço 4 raiz quadrada de 168 mais 1 fim da raiz menos raiz quadrada de 81 igual a 4 raiz quadrada de 169 menos raiz quadrada de 81 igual a 13 menos 9 igual a 4 4 igual a 4$

Assim, 84 é raiz da equação irracional.

Exercício 4

Determine o valor de x que é solução da seguinte equação irracional $cúbica raiz de 5 x menos 10 fim da raiz menos 2 igual a 8$ .

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Resposta: x = 202

Passo 1: Isolar a raiz.

$cúbica raiz de 5 x menos 10 fim da raiz igual a 8 mais 2 cúbica raiz de 5 x menos 10 fim da raiz igual a 10$

Passo 2: eliminar a raiz.

Vamos elevar os dois membros ao cubo.

$abre parênteses cúbica raiz de 5 x menos 10 fim da raiz fecha parênteses ao cubo igual a 10 ao cubo 5 x menos 10 igual a 1000 5 x igual a 1010 x igual a 1010 sobre 5 x igual a 202$

Exercício 5

(IF-BA 2013) Considerando a equação $numerador raiz quadrada de x menos 1 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de x menos 1 fim da raiz fim da fração igual a 3 sobre 2$ ,

é correto afirmar que a soma das suas raízes é um número

a) múltiplo de 3

b) divisor de 16.

c) par

d) primo

e) múltiplo de 6.

Exercício 6

A solução real da equação $raiz quadrada de x menos 4 fim da raiz mais raiz quadrada de x menos 1 fim da raiz igual a 5$ é:

a) um número inteiro negativo.

b) um número natural primo.

c) um número natural composto.

d) um número irracional.

e) um número racional.

Exercício 7

(AMAUC - Agente administrativo) Um certo número "t " é tal que $t igual a abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao quadrado mais raiz quadrada de 4 sobre 9 fim da raiz$ . O valor de $t ao quadrado$ é

a) 11/12

b) 3/7

c) 121/144

d) 9/49

e) 22/24

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.