Exercícios de Geometria Espacial (com questões resolvidas)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Estude com os exercícios de Geometria Espacial com resposta. Questões sobre sólidos geométricos como: poliedros, cilindros e circunferências comentadas e resolvidas.
Questão 1
Qual o volume e a área superficial total de um paralelepípedo reto com dimensões de 5 cm, 7 cm e 9 cm?
a) volume 63 cm³ e área 143 cm²
b) volume 315 cm³ e área 286 cm²
c) volume 315 cm³ e área 286 cm²
d) volume 620 cm³ e área 572 cm²
e) volume 620 cm³ e área 572 cm²
Resposta: b) volume 315 cm³ e área 286 cm²
Cálculo do volume
Um paralelepípedo reto é também um prisma de base retangular. Como todo prisma, seu volume é dado pelo produto (multiplicação), entre a área da base e a altura.
Sendo a base um retângulo, para calcular a área, basta multiplicar duas medidas. Desta forma, para calcular o volume, multiplicam-se as três dimensões.
Cálculo da área
O paralelepípedo possui seis faces, de forma que, a área total, é o soma das áreas dos seis lados. Os lados opostos de um paralelepípedo são iguais e, para calcular a área, fazemos:
Como cada lado se repete duas vezes, somamos e multiplicamos o resultado por dois.
Questão 2
O projeto de uma casa descreve para sua estrutura, um prisma quadrangular com 9 m de frente, profundidade de 12 m e altura de 2,50 m. Esta casa possuirá:
1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m;
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m;
2 janelas em cada um dos quatro lados da casa com 1,20 m x 1,10 m;
Para construir a casa é necessário conhecer a metragem quadrada e, assim, comprar as quantidades necessárias de materiais, sem desperdício. Calcule quantos metros quadrados de paredes serão construídas.
a) 53,23 m².
b) 75,55 m².
c) 88,94 m².
d) 104,35 m².
e) 125,32 m².
Resposta: c) 88,94 m².
Passo 1: calcular a área total.
A área da frente e de trás da casa são dois retângulos de 9 m de frente por 2,5 m de altura.
A área das laterais são dois retângulos de 12 m de profundidade por 2,5 m de altura.
A área total é:
Passo 2: calcular a área das janelas e portas.
Área das portas.
1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m = 3,52 m²
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m = 1,98 m²
Total da área das portas: 3,52 + 1,98 = 5,5 m²
Área das janelas.
Há 2 janelas por lado, sendo quatro lados, são 8 janelas. Cada janela possui: 1,20 m x 1,10 m = 1,32 m².
Total das áreas das janelas: 1,32 x 8 = 10,56 m².
Somando as áreas das portas e janelas: 5,50 + 10,56 = 16,06 m².
Passo 3: subtrair da área total, a área das janelas e portas.
Considere um prisma triangular com bases na forma de triângulos equiláteros com lados de 6 cm. Se sua altura também possui 6 cm, determine seu volume e área superficial total.
a) Volume 48,2 m³ e área de 88,5 cm².
b) Volume 55,4 m³ e área de 96,1 cm².
c) Volume 69,3 m³ e área de 100,7 cm².
d) Volume 93,6 m³ e área de 139,2 cm².
e) Volume 71,5 m³ e área de 254,5 cm².
Resposta: d) o volume é de 93,6 m³ e a área é de 139,2 cm², aproximadamente.
Cálculo do volume.
O volume de todo prisma é calculado pelo produto entre a área da base e a altura.
Sendo a base um triângulo equilátero, sua área pode ser calculada por:
Para determinar a altura do triângulo da base, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo:
A área da base é:
O volume é:
Aproximando a raiz de 27 para 5,2:
Cálculo da área superficial total.
O prisma triangular é formado por duas bases triangulares e três retângulos. Como já calculamos a área da base, basta multiplicar por dois.
Área das bases:
Área lateral:
São três quadrados formados por 6 cm de lado.
A área total é:
Aproximando a raiz quadrada, temos:
Questão 4
Um prisma hexagonal possui 8 faces e 12 vértices. Qual é o número de arestas?
a) 4
b) 12
c) 18
d) 36
e) 96
Resposta: c) 18 arestas.
Para determinar o número de arestas, utilizamos a relação de Euler.
O prisma possui 18 arestas.
Questão 5
Calcule o volume de uma esfera com 3 cm de raio. Considere como 3,14.
a) 15,46 cm³
b) 16,12 cm³
c) 28,18 cm³
d) 37,68 cm³
e) 42,51 cm³
Resposta: 37,68 cm³
O volume de uma esfera é determinada por:
Questão 6
Um icosaedro truncado é um poliedro que serve como fundamento para a construção de uma figura espacial bem conhecia, a bola de futebol. A versão desta bola de futebol foi criada na copa do mundo de 1970. O icosaedro truncado possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Determine o número de arestas deste poliedro.
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
Resposta: 90 arestas.
Utilizando a relação entre arestas e faces, temos:
Onde,
A é o número de arestas;
F3 é o número de faces triangulares;
F4 é o número de faces quadrangulares;
F5 é o número de faces pentagonais;
...
A fórmula continua infinitamente, no entanto, o icosaedro truncado possui apenas faces pentagonais e hexagonais, de forma que, todas as outras parcelas desaparecem.
Substituindo o número de faces pentagonais e hexagonais:
Este poliedro possui 90 arestas.
Questão 7
O maior túnel rodoviário do Brasil fica no Estado de São Paulo, na rodovia Tamoios, que liga o Litoral Norte ao Vale do Paraíba. Ele possui 5 555 m de extensão e seu vazamento (escavação), retirou cerca de 1,7 milhões de metros cúbicos de rocha.
Aproximando sua seção transversal como um semicírculo e, considerando uma extensão retilínea, qual deveria ser a altura do túnel no ponto mais alto?
Considere = 3.
a) 12,55 m
b) 14,28 m
c) 16,32 m
d) 17,56 m
e) 18,48 m
Resposta: b) aproximadamente 14,28 m.
A questão pede para aproximarmos a seção do túnel como meia circunferência. Considerando seu volume, será meio cilindro.
O volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Em que r é o raio da semicircunferência. A altura do ponto mais alto do túnel é, portanto, r.
Como o túnel é metade de um cilindro, seu volume é:
V é o volume de 1,7 milhões m³ e h é sua extensão, de 5 555 m.
Assim, a altura no ponto mais alto é de cerca de 14,28 m.
Questão 8
Um dos principais pontos turísticos de Paris é o conjunto de pirâmides do Museu do Louvre, localizado na praça Cour Napoléon. Com suas superfícies em vidro suportadas por estruturas metálicas, a maior e principal pirâmide possui 20,6 m de altura. Sua base é um quadrado de 35 m de lado. A medida da quantidade de vidro necessário para sua construção, em metros quadrados, é igual a:
a) 1890 m²
b) 2150 m²
c) 2356 m²
d) 2564 m²
e) 2654 m²
Resposta: 1890 m².
Trata-se de um problema de área. A pirâmide de base quadrada, é formada por 4 triângulos de bases de 35 m. O objetivo é determinar a área formada pelos quatro triângulos.
A área de um triângulo é determinada por:
A base b já está determinada, faltando apenas a altura h. A medida fornecida foi a altura da pirâmide, não do lado.
Considerando a altura h do lado, a altura da pirâmide, de 20,6 m, e a metade de um lado da base, de 35 m, forma-se uma triângulo retângulo. Desta forma, para determinar a altura h do lado, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.
Determinando a área de um lado:
Aproximando a raiz de 730,61 para 27:
Como são quatro lados, a área total é de:
Questão 9
(Enem 2021) Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentara capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como aproximação para π.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de
a)
b)
c)
d) 5/2
e) 15/2
Resposta: a)
Dados
2 m de profundidade deve ser constante;
5 peixes por m³;
750 peixes atualmente;
aumentar para 900 peixes; = 3.
Passo 1: determinar o volume atual.
São 750 peixes, como é necessário 1 m³ para 5 peixes, o reservatório possui 750 / 5 = 150 m³.
Passo 2: determinar o raio atual.
O volume de um cilindro é dado por:
Substituindo os valores e resolvendo para r:
O raio do tanque atual é de 5 m.
Passo 3: o raio R do novo tanque.
O novo tanque comporta 900 peixes, seu volume é:
900/5 = 180 m³
Utilizando esse valor na fórmula do volume do cilindro, para a mesma altura, o novo raio é:
Passo 4: determinando o aumento.
O novo raio R, é a soma entre o raio original mais o aumento.
Como a questão pede o aumento, temos:
Conclusão
Para comportar a quantidade de 900 peixes e aumentar o volume, mantendo a mesma profundidade, o raio deverá aumentar
Questão 10
(Enem 2021) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.
Resposta: 14.
Para saber o número de bolinhas dividimos o volume adicional necessário pelo volume de cada bolinha.
Passo 1: determinar o volume adicional necessário para o nível alcançar 15 cm de altura.
Como o nível está em 8 cm, para chegar a 15 cm, faltam 7 cm. Este volume é formado por um prisma quadrangular (paralelepípedo) como medidas de: 7 cm, 4 cm e 3 cm.
O volume é:
Passo 2: determinar a quantidade de bolas.
Como cada bola possui 6 cm³, desta forma, serão necessárias 84/6 = 14 bolas.
Questão 11
(Enem 2016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por .
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R/3 , cujo volume será dado por , sendo h a altura da nova embalagem.
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a
a) 2R.
b) 4R.
c) 6R.
d) 9R.
e) 12R.
Resposta: 12R.
O volume do frasco esférico é:
O volume do frasco cilíndrico é:
Como estes volumes devem ser iguais, fazemos:
Simplificando os termos semelhantes:
A altura do frasco cilíndrico é de 12R.
Questão 12
(FAG 2016) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Resposta: 19.
Pelo princípio da conservação de massa, e sem considerar perdas, o volume dos dois blocos deve ser igual ao volume do paralelepípedo.
Volume dos blocos:
Volume do paralelepípedo:
Igualando os dois valores e resolvendo para x:
Questão 13
(Enem 2021) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são
a) 2 quadrados e 4 retângulos.
b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.
Resposta: c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
Um tronco de pirâmide é uma pirâmide cortada por um plano paralelo à base, que neste caso, é um quadrado. Assim, há dois quadrados.
Suas quatro laterais são formadas por triângulos cortados por uma seção paralela à base, formando quatro trapézios isósceles.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
como 3,14.
.
, sendo h a altura da nova embalagem.
