Exercícios de permutação (resolvidos e explicados)
As permutações fazem parte dos problemas de contagem. Utilizamos as permutações para conhecer a quantidade de ordenações dos elementos de um conjunto. Pratique seus conhecimentos sobre permutação e tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos.
Exercício 1
Dois amigos estavam brincando de lançar dados de seis faces. Sabe-se que saíram os números 4, 1, 2 e 5, não necessariamente nesta ordem. Quantas sequências de resultados poderiam ter acontecido?
Exercício 2
Um grupo de seis amigos foi assistir um filme no cinema e compraram seus ingressos para uma mesma fileira de cadeiras. Considerando haver um casal e que eles se sentaram em cadeiras vizinhas, de quantas formas esses amigos puderam se ajustar na fileira de cadeiras?
Exercício 3
Uma turma de 7 alunos está brincando no pátio aproveitando a hora do intervalo. Ao ouvir o sinal que informa o retorno para as salas de aula, os alunos se encaminham para formar uma fila. De quantas maneiras distintas os alunos podem formar a sequência da fila?
Exercício 4
Um fotógrafo está ajustando sua câmera para fotografar 5 crianças dispostas em um banco. Neste grupo há 3 meninas e 2 meninos. Uma possível arrumação das crianças para a foto seria:
Considerando as posições nas quais as crianças podem se sentar no banco, de quantas formas o fotógrafo pode organizar os meninos e as meninas, obtendo fotos diferentes?
Exercício 5
Quantos anagramas podem ser feitos com as letras da palavra PREFEITURA?
Exercício 6
(UEMG 2019) Do conjunto de todas as permutações das letras da palavra PONTA, retira-se uma, ao acaso. Qual é a probabilidade de se retirar uma palavra que começa e termina com vogal?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Passo 1: número de todas as permutações com as letras da palavra PONTA.
Como são cinco letras distintas, temos:
Passo 2: número de permutações que começam e terminam com vogal.
Para a primeira letra há duas opções de vogais, já para última, só restará 1.
Para as consoantes há 3! possibilidades.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Passo 3: determinar a razão de probabilidade.
Exercício 7
(EsPCex 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Passo 1: permutações totais.
Como são cinco elementos distintos, temos que o número de permutações de 5 elementos é igual a 5 fatorial.
Passo 2: permutações de números divisíveis por dois com os cinco algarismos.
Para ser divisível por 2 a condição é de que seja par. Assim, há duas opções para o último algarismo, o 2 e o 4.
Para as outras posições há 4! possibilidades.
Passo 3: cálculo da probabilidade.
Exercício 8
(EsFCEx 2022) Seja P o conjunto de permutações da sequência 1, 3, 6, 9, 12 para as quais o primeiro termo é diferente de 1. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de que o segundo termo seja 3 é igual a p/q, com p, q ∈ IN* e mdc(p, q) = 1. Sendo assim, q – p é igual a
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Passo 1: determinar a quantidade de casos totais possíveis no espaço amostral.
Da direita para esquerda, o primeiro número não pode ser um, assim, há 4 possibilidades para ocupar a primeira posição.
Para ocupar as outras posições há 4! possibilidades.
As permutações ficam:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Passo 2: determinar as possibilidades de ocorrência do evento o segundo ser três, sendo o primeiro diferente de um.
As permutações ficam:
3.1.3.2.1 = 18
Passo 3: razão da probabilidade.
A razão da probabilidade fica:
Sendo p = 18 e q = 96.
No entanto, ainda há a condição de que o máximo divisor comum entre p e q seja 1, o que não ocorre com 18 e 96.
Devemos simplificar e testar frações equivalentes a 18/96.
Passo 4: simplificação da fração de probabilidade e determinação de p e q.
Como o mdc (3, 16) = 1, p = 3 e q = 16.
Passo 5: conclusão.
q - p = 16 - 3 = 13
Aprenda mais sobre permutação.
Para mais exercícios, veja:
- Exercícios de análise combinatória
- Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas)
- Índice de exercícios de matemática do 2º ano do Ensino Médio
ASTH, Rafael. Exercícios de permutação (resolvidos e explicados). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Acesso em:
