Exercícios sobre função modular (com respostas explicadas)

Resposta correta: e)

Vamos escrever a função f(x) = |x + 1| - 1 em parte e sem módulo.

Para

Assim, para todo x maior ou igual a -1 a função é definida como:

Para

Assim, para todo x menor que -1 a função é definida como:

Entre as opções de resposta há apenas com vértice em x = -1. Substituindo nas partes da função:

Apenas a opção e possui vértice em (-1, -1).

Para

f(x) = x + 4 + 2 = x + 6

Para

f(x) = - x - 4 + 2 = - x - 2

Portanto

A função modular |x - 3| -1, é formada como a função |x|, por linhas poligonais, ou seja, semirretas com mesma origem. O gráfico será uma translação horizontal para direita de três unidades e para baixo em 1 unidade.

Escrevendo a função por partes e sem módulo:

Logo para

Para x < 3

Assim, a função f(x) = |x - 3| - 1 é formada por duas partes, retas que possuem o ponto x = 3 em comum.

Observe que nas duas partes, ao substituir o x = 3, encontramos o mesmo valor de y.

Temos que o vértice da função é o ponto (3, -1).

Como são segmentos de reta e já temos um ponto de ambas, basta determinar mais um ponto para cada segmento.

O enunciado traz a informação do intervalo [0, 6]. Substituindo estes valores:

f(x) = -x + 2
f(0)= -0 +2 = 2

Par ordenado (0, 2)

Para x = 6:

f(x) = x-4
f(x) = 2 - 4 = 2

Par ordenado (6, 2)

O gráfico da função f(x) = |x - 3| - 1 fica assim:

Abaixo, a função p(x) está representada em vermelho e a função q(x) em traços azuis.

O gráfico de q(x) é simétrico ao de p(x), em relação ao eixo x, o que significa que para todo valor negativo da função p(x), a função q(x) tera um valor simétrico e positivo.

Veja que a linha pontilhada azul q(x) espelha para cima os valores da linha vermelha p(x). Isto acontece pois o módulo sempre retorna valores positivos.

Resposta correta: c) 4.

Ideia 1: Reescrevendo os módulos por partes.

Temos dois pontos de interesse, x = 2 e x = -3. Estes pontos dividem a reta numérica em três partes.

Ideia 2: identificando a e b.

Dessa forma a = -3 e b = 2

Neste caso a ordem não importa pois queremos determinar a + b + c, e em uma adição a ordem não altera a soma.

Ideia 3: Identificando a sentença dos módulos para x maior ou igual a -3 e menor que 2.

Para

Ideia 4: determinando c.

Fazendo f(x) para

Desse modo, c = 5.

Portanto, o valor da soma: a + b + c = -3 + 2 + 5 = 4

Resposta correta: c) 6.

Ideia 1: Valores de x para que f(x) = 2.

Devemos determinar os valores de x para os quais f(x), assume o valor 2.

Escrevendo a função por partes e sem a notação de módulo temos:

Na equação I, fazendo f(x) = 2

2 = x - 3
2 + 3 = x
5 = x

Na equação II, fazendo f(x) = 2 e substituindo

2 = - x + 3
2 - 3 = -x
-1 = -x
1 = x

Ideia 2: somando os valores de x que geraram f(x) = 2.

5 + 1 = 6

Portanto, a soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2, é 6.

Resposta correta: letra e) -2 e 1

Resolução

k translada horizontalmente a função e é a abscissa do vértice.

Para , a função é deslocada para a direita.
Para , a função é deslocada para a esquerda.

Como a função se deslocou para a esquerda duas unidades a partir da origem, k é negativo.

Sendo assim, k = -2.

p translada verticalmente a função.

Se p for positivo a função "desce", a partir da origem.
Se p for negativo a função "sobe", a partir da origem.

Não confunda o sinal negativo da fórmula com o sinal de p.

Exemplo:

Para p positivo: a função desce p unidades
f(x) = |x - k| - p

Para p negativo: a função sobe p unidades
f(x) = |x - k| - (- p)
f(x) = |x - k| + p

Como a função desceu 1 unidade, p = 1.
Portanto, k = -2 e p = 1.