Exercícios sobre operações com conjuntos (com respostas explicadas)

Alternativa correta: b) A B.

a) ERRADA. Há elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Portanto, não podemos dizer que A contém B. A afirmação correta seria B A.

b) CORRETA. Observe que todos os elementos de A também são elementos de B. Portanto, podemos dizer que A está contido em B, A é parte de B ou que A é um subconjunto de B.

c) ERRADA. Não há nenhum elemento de A que não pertence ao conjunto B. Portanto, não podemos dizer que B não contém A.

d) ERRADA. Como A é um subconjunto de B, então a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A: B A = A

Alternativa correta: d) 12 A e B

Os conjuntos da questão estão representados por suas leis de formação. Sendo assim, o conjunto A é formado por múltiplos positivos de 4, ou seja, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} e o conjunto B reúne os números pares maior ou igual a 4 e menor que 16. Portanto, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Analisando as alternativas, temos:

a) ERRADA. 145 é um número terminado em 5 e, portanto, é múltiplo de 5.

b) ERRADA. 26, apesar de ser um número par, é maior que 16 e, por isso, não faz parte do conjunto B.

c) ERRADA. 11 não é um número par, mas sim um número primo, ou seja, só é divisível por 1 e ele mesmo.

d) CORRETA. 12 pertence aos conjuntos A e B, pois é um múltiplo de 4 e é um número par maior que 4 e menor que 16.

Alternativa correta: b) A = {x|x é um número primo e 1 < x < 13}

a) ERRADA. Números simétricos, também chamados de opostos, apresentam-se à mesma distância na reta numérica. Por exemplo, 2 e - 2 são simétricos.

b) CORRETA. O conjunto apresentado é dos números primos, sendo o 2 o menor número primo existente e também o único que é par.

c) ERRADA. Embora a maioria dos números seja ímpar existe o número 2 no conjunto, que é par.

d) ERRADA. Embora todos os números sejam naturais, o conjunto contém o número 11, que é maior que 10.

Alternativa correta: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}

Para o conjunto A = {x|x é um número primo e 1 < x < 10}, temos os elementos A = {2, 3, 5, 7}. Sendo assim, os conjuntos apresentados na questão são:

A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

a) ERRADA. A não contém B, pois o elemento 1 não faz parte de A.

b) ERRADA. A não está contido em B, pois o elemento 2 não faz parte de B.

c) ERRADA. A não pertence a B, pois os conjuntos apresentam um elemento distinto.

d) CORRETA. A união de conjuntos corresponde à junção dos elementos que os compõem e é representada pelo símbolo .

Portanto, a união de A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} é A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.

Resposta correta:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} e
d) {1, 3, 5, 6, 7}.

Distribuindo os elementos dos conjuntos no diagrama de Venn, temos:

Ao realizar as operações com os conjuntos dados, temos os seguintes resultados:

a) A B = {1, 6, 7}

b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

c) C – A = {-5, 2, 3, 5}

d) B (A C) = {1, 3, 5, 6, 7}

Resposta correta: b) C – (A B)

Observe que a área hachurada representa os elementos que não pertencem aos conjuntos A e B. Portanto, trata-se de uma diferença entre conjuntos, que indicamos por (–).

Como os conjuntos A e B apresentam a mesma cor, podemos dizer que há a representação da união dos conjuntos, ou seja, a junção dos elementos de A e B, representada por A B.

Portanto, podemos dizer que a área hachurada é a diferença de C da união de A e B, ou seja, C – (A B).

Resposta correta:

a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50

a) o número de alunos pedidos engloba tanto os alunos de Matemática quanto os alunos de Português. Por isso, temos que encontrar a união dos dois conjuntos.

O resultado pode ser calculado subtraindo o número total de alunos da escola pelo número de alunos que não cursa essas disciplinas.

n(M P) = n(T) - 150 = 600 - 150 = 450

b) como o resultado pedido é de alunos que cursa Matemática e Português, temos que encontrar a intersecção dos conjuntos, ou seja, os elementos comuns aos dois conjuntos.

Podemos calcular a intersecção dos dois conjuntos somando o número de alunos matriculados nas matérias de Português e Matemática e depois subtraindo o número de alunos que estuda essas duas disciplinas ao mesmo tempo.

n(M P) = n(M) + n(P) - n(M P) = 300 + 200 - 450 = 50

Resposta correta: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) Os números racionais abrangem todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros. Este conjunto inclui as divisões não exatas. ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0}

(5) Os números reais correspondem a união dos racionais com os irracionais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I.

(4) Os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. Os números deste grupo resultam das operações, cujo resultado não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2.

(1) Os números naturais são formados pelos números que usamos nas contagens ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.

(6) Os números complexos incluem as raízes do tipo √-n e, por isso, é uma extensão dos números reais.

(2) Os números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Resposta correta: b) 44.

1º passo: determinar o número total de pessoas que assistem às corridas

Para isso, precisamos apenas subtrair o número total de entrevistados dos que declararam não assistir os campeonatos de corrida.

200 - 55 = 145 pessoas

2º passo: calcular o número de pessoas que assistem apenas às corridas de Motovelocidade

74 + 27 + (x – 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71

Subtraindo o valor de x da interseção dos dois conjuntos, encontramos o número de entrevistados que assistem apenas às corridas de motovelocidade.

71 - 27 = 44

Resposta correta: c) 450 telespectadores.

Existem 450 telespectadores que não acham agradável nenhuma das três novelas.

Resposta correta:

É preciso verificar que o conjunto M (melhores amigos), é um subconjunto do conjunto E (amigos), ou seja, M está contido em E.

Com isto as alternativas A, B e D estão eliminadas. Sobram a C e a E.

Perceba que na alternativa C, o conjunto M (melhores amigos) está totalmente contido em E (total de pessoas na festa). No entanto, o enunciado diz que nem todos os melhores amigos foram a festa. Isto significa que haverá uma intersecção, não uma inclusão.

Deste modo, a alternativa correta é a E.

Resposta correta: b)

Devemos focar a atenção primeiramente ao conjunto M e telo hachurado. De toda esta área "pintada" inicialmente, alguma parte foi retirada após a sobreposição dos três conjuntos, o que evidencia que houve uma subtração (diferença).

A área retirada foi a do conjunto N mais a área do conjunto P , ou seja, N U P (união). Por fim, temos:

Resposta correta: b) 162.

Neste tipo de problema utilizamos diagramas de Venn, começando a preenchê-lo a partir da maior intersecção que no caso é a igual a 8, que estudam nas três faculdades.

O próximo passo é preencher as intersecções secundárias. Como 32 estudam Biologia e Física e, na área de intersecção entre estas faculdades já temos 8, restam 32 - 8 = 24. Seguindo este raciocínio, para química e biologia temos 16 - 8 = 8 e para Física e Química temos 23 - 8 = 15.

Em seguida, preenchemos as áreas individuais.

Física: 80 - (15 + 8 + 24) = 33
Química: 55 - (15 + 8 + 8) = 24
Biologia: 90 - (24 + 8 + 8) = 50

Por fim, para calcular o total de alunos nas três faculdades, somamos todos os números: 33 + 15 + 24 + 24 + 8 + 8 + 50 = 162.

Desse modo, 162 alunos estudam na universidade, que é formada pelas três faculdades.