Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Pratique transformar dízima periódica em fração geratriz. Consulte as resoluções passo a passo e tire suas dúvidas.
Questão 1
Determine a fração geratriz de 0,33333 ...
Resposta correta: 3/9.
O período, parte que se repete após a vírgula, é 3. Assim, a dízima pode ser escrita como: .
Podemos resolver por dois métodos:
Método 1: fracionário
Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.
Neste caso em específico, a parte inteira é zero, de forma que a resposta é .
Método 2: algébrico
Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.
Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.
Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.
Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.
Questão 2
Determine a fração geratriz de 1,44444 ...
Resposta correta: 13/9.
O período, parte que se repete após a vírgula, é 4. Assim, a dízima pode ser escrita como: .
Podemos resolver por dois métodos:
Método 1: fracionário
Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.
Método 2: algébrico
Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.
Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.
Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.
Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.
Questão 3
Determine a fração geratriz de 0,414141 ...
Resposta correta: 41/99
O período, parte que se repete após a vírgula, é 41. Assim, a dízima pode ser escrita como: .
Podemos resolver por dois métodos:
Método 1: fracionário
Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.
Método 2: algébrico
Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.
Passo 2: multiplicamos por 100 ambos os lados da equação, obtendo a equação II. (pois há dois algarismos na dízima).
Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.
Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.
Questão 4
Determine a fração geratriz de 2,53030 ...
Resposta correta: 2505/990
Podemos reescrever como: , onde 30 é o período. Esta é uma dízima composta.
Passo 1: igualar a x.
Passo 2: Multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.
Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.
Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.
Passo 3: Subtrair a equação I da II.
Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.
Questão 5
Determine a fração geratriz de 2,0454545
Resposta correta: 2025/990
Podemos reescrever como: , onde 45 é o período.
Passo 1: igualar a x.
Passo 2: multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.
Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.
Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.
Passo 3: Subtrair a equação I da II.
Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.
Questão 6
(EFOMM - 2021) Toda dízima periódica pode ser escrita em forma de sua fração geratriz. Considerando a fração geratriz 22229/27027, então o dígito que ocupará a 50ª casa decimal é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 8
Resposta correta: a) 2
Fazendo a divisão, encontramos:
Perceba que a dízima pode ser reescrita como:
O período se repete de 6 em 6 dígitos e, o múltiplo inteiro mais próximo da 50ª casa decimal será:
6 x 8 = 48
Assim, o algarismo 3, último do período, ocupará a 48ª casa decimal. Logo, na próxima repetição, o primeiro algarismo 2 ocupará a 50ª posição.
Questão 7
(BNB 2003) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:
a) 88
b) 89
c) 90
d) 91
e) 92
Resposta correta: b) 89
É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e somar numerador e denominador.
Podemos reescrever como: , onde 36 é o período.
Passo 1: igualar a x.
Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.
Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.
Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.
Passo 4: Subtrair a equação I da II.
Passo 5: isolar o x.
Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 25, por 9 e, mais uma vez por 9.
Assim, basta somar 1 + 88 = 89.
Questão 8
(SESC - SE) Se a fração irredutível a/b é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b :
a) 670
b) 1809
c) 2010
d) 590
e) 540
Resposta correta: a) 670
É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e subtrair numerador e denominador.
Podemos reescrever como: , onde 012 é o período.
Passo 1: igualar a x obtendo a equação I.
Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.
Passo 3: Subtrair a equação I da II.
Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.
Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 3.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
ASTH, Rafael. Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica.Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-fracao-geratriz-e-dizima-periodica/. Acesso em:
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, onde 30 é o período. Esta é uma dízima composta.
, onde 45 é o período.
, onde 36 é o período.
, onde 012 é o período.
