Exercícios sobre poliedros (com gabarito resolvido)
Os poliedros são figuras geométricas tridimensionais formadas por faces, arestas e vértices. Pratique exercícios sobre este tema da Geometria.
Exercício 1
Qual das seguintes formas geométricas não é classificada como um poliedro?
A) Cubo
B) Prisma triangular
C) Pirâmide de base quadrada
D) Esfera
E) Tetraedro
Poliedros são sólidos geométricos formados por faces planas (polígonos).
O cubo, o prisma triangular, a pirâmide de base quadrada e o tetraedro possuem faces planas e, portanto, são poliedros.
A esfera não possui faces planas, por ser formada por uma superfície curva, logo não é um poliedro.
Resposta correta: D) Esfera.
Exercício 2
Um grupo de exploradores encontrou um artefato antigo com inscrições misteriosas. As inscrições descrevem sólidos geométricos com as seguintes características:
- Sólido A: Possui 6 faces quadradas idênticas.
- Sólido B: Possui 12 faces pentagonais idênticas.
- Sólido C: Possui 4 faces triangulares idênticas.
- Sólido D: Possui 6 faces retangulares, mas não todas idênticas.
- Sólido E: Possui 20 faces triangulares idênticas.
Qual dos sólidos descritos NÃO faz parte do conjunto dos Sólidos de Platão?
a) Sólido A
b) Sólido B
c) Sólido C
d) Sólido D
e) Sólido E
Sólidos de Platão são poliedros regulares convexos, onde todas as faces são polígonos regulares e congruentes, e todos os vértices possuem o mesmo número de arestas.
Sólido A (Cubo): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.
Sólido B (Dodecaedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.
Sólido C (Tetraedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.
Sólido D (Paralelepípedo): Não se encaixa na definição, pois suas faces não são todas idênticas.
Sólido E (Icosaedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.
Portanto, o Sólido D (paralelepípedo) é o único que não faz parte do conjunto dos Sólidos de Platão.
Exercício 3
Um poliedro convexo possui 12 faces, sendo 8 faces triangulares e 4 faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
Passo 1: Identificar as informações dadas
Poliedro convexo com 12 faces.
- 8 faces são triangulares
- 4 faces são hexagonais
Passo 2: Calcular o número total de arestas
Primeiro, vou calcular o número de arestas a partir das faces:
- Cada face triangular tem 3 arestas.
- Cada face hexagonal tem 6 arestas.
Total de arestas (contando duplicações):
Das faces triangulares: 8 × 3 = 24 arestas
Das faces hexagonais: 4 × 6 = 24 arestas
Total: 24 + 24 = 48 arestas
Mas cada aresta é contada exatamente 2 vezes (uma vez para cada face que a compartilha), então: Número real de arestas (A) = 48 ÷ 2 = 24 arestas.
Passo 3: Aplicar a Relação de Euler
A Relação de Euler para poliedros convexos é: V + F - A = 2
Onde:
- V é o número de vértices (que queremos encontrar)
- F é o número de faces (sabemos que é 12)
- A é o número de arestas (calculamos como 24)
Substituindo:
V + 12 - 24 = 2
V = 2 + 24 - 12
V = 14
Verificação
Podemos verificar nosso resultado usando a fórmula alternativa: 2A = 3F₃ + 6F₆ 2(24) = 3(8) + 6(4) 48 = 24 + 24 48 = 48 ✓
Portanto, o poliedro possui 14 vértices.
A resposta correta é a) 14.
Exercício 4
Um arquiteto está projetando uma pirâmide para um monumento histórico. Ele decide que a pirâmide terá 15 faces laterais triangulares. Com base nessa informação, determine o número de vértices e arestas que a pirâmide terá:
a) 16 vértices e 30 arestas.
b) 15 vértices e 16 arestas.
c) 30 vértices e 16 arestas.
d) 16 vértices e 15 arestas.
e) 15 vértices e 30 arestas.
a) 16 vértices e 30 arestas.
Explicação:
Faces laterais: A pirâmide tem 15 faces laterais triangulares, o que significa que sua base é um polígono de 15 lados.
Vértices: A pirâmide terá 15 vértices na base e 1 vértice no topo, totalizando 16 vértices.
Arestas: A base da pirâmide tem 15 arestas, e há 15 arestas ligando a base ao vértice do topo, totalizando 30 arestas.
Exercício 5
Veja também:
- Poliedro: o que é, classificação, exercícios
- Sólidos Geométricos: exemplos, nomes e planificação
- Geometria espacial: quais são as figuras e suas fórmulas
ASTH, Rafael. Exercícios sobre poliedros (com gabarito resolvido). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-poliedros/. Acesso em:
