Exercícios de Logaritmo: questões resolvidas e comentadas

Respostas corretas: a) 4; b) 3/2; e c) 2/5.

Pela definição de logaritmo, temos:

O logaritmo de b na base a (sendo a e b números reais e positivos e a≠1) é igual ao expoente x, ao qual se deve elevar a base, fazendo com quea potência a^xseja igual a b.

a)

b)

c)

Portanto, , ,

Respostas corretas: a) 25; b) 10 e c) 24.

Uma potência que apresenta logaritmo como expoente pode ser resolvida da seguinte forma:

Ou seja, se tomarmos o valor do logaritmo como sendo , então podemos dizer que .

a)

b)

c)

Portanto, , e .

Alternativa correta: a.

Nesta questão, queremos identificar como será o gráfico da função g_of. Primeiro, precisamos definir a função composta. Para tal, iremos substituir o x na função g(x) pela f(x), ou seja:

Agora que já conhecemos a função composta, iremos simplificar a função encontrada. Para isso, usaremos algumas propriedades dos logaritmos.

Como 1/2 está multiplicando 5^x, podemos escrever como sendo a soma dos logaritmos, assim temos:

Sendo 1/2 uma divisão, vamos escrever como a subtração de logaritmos e escrever o x do expoente multiplicando o logaritmo:

Sabemos que log₁₀1 = 0. Substituindo na expressão acima:

Como tanto o log₁₀ 2 quanto o log₁₀ 5 são números positivos, a função é do tipo f(x) = ax - b, sendo a = log₁₀ 5 e b =log₁₀ 2.

Temos uma função afim cujo gráfico é uma reta crescente, pois o coeficiente a é positivo (a>0) e a reta corta o eixo y no ponto - log₁₀ 2.

Portanto, o gráfico da função composta g_of, será o da alternativa a:

Alternativa correta: e) ∛9.

Temos a soma de dois logaritmos que apresentam bases diferentes. Então, para começar, vamos fazer uma mudança de base.

Lembrando que para mudar a base de um logaritmo usamos a seguinte expressão:

Portanto, se log₃ x + log₉ x = 1, então o valor de x é ∛9.

Alternativa correta: d) 16.

Conforme o problema, o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R$ 400,00. Podemos representar matematicamente essa condição como:

Portanto, para encontrar o menor número de parcela, temos que resolver a inequação acima. Vamos então começar, passando o denominador para o outro lado da desigualdade:

65 . 1,013ⁿ ≤ 400 . (1,013ⁿ - 1)
65 . 1,013ⁿ ≤ 400 . 1,013ⁿ - 400
400 ≤ 400 . 1,013ⁿ - 65 . 1,013ⁿ
400 ≤ 335 . 1,013ⁿ

Como o valor que estamos procurando (n) está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da desigualdade. Assim:

log 400 ≤ log (350 . 1,013ⁿ)

O logaritmo da multiplicação é igual a soma dos logaritmos e que o logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo. Aplicando essas propriedades, temos:

log 400 ≤ log 350 + n . log 1,013

Substituindo os valores informados no problema para os logaritmos da desigualdade:

Portanto, o número menor de parcelas terá que ser 16, visto que n tem que ser maior que 15,4.

Alternativa correta: a) 2.

Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y:

Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:

Portanto, se log₅ x = 2 e log₁₀ y = 4, então log₂₀ y/x é 2.

Alternativa correta: b) 10¹⁵.

Aplicando a definição de logaritmo, temos que:

log₁₀ E = 15,3
E = 10 ^15,3

A ordem de grandeza deverá se uma potência x, tal que:

10^{15 - 0,5} ≤ x < 10^{15 + 0,5}
10^14,5 ≤ x < 10^15,5

Como o expoente da ordem de grandeza tem que ser um número inteiro, o valor de n será 15.

Portanto, a ordem de grandeza de E, em joules, equivale a 10¹⁵.

Alternativa correta: d) 200.

Primeiro, é necessário encontrar uma expressão que represente a temperatura em função do tempo, partindo da temperatura inicial. Sabemos que a temperatura diminui 1% a cada 30 min.

Então, para calcular a redução da temperatura, podemos multiplicar seu valor por 0,99, pois 1% corresponde a 0,01 e 1 - 0,01 = 0,99.

Vamos observar o que acontece com a temperatura nas primeiras três horas:

meia hora → 3000 . 0,99 = 2970
1 hora → 3000 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)²
1h e meia → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)³
2h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)⁴
2h e meia→ 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)⁵
3h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)⁶

A partir desse valores, podemos representar a função como:

T(t) = T_o . 0,99^2t

Onde,

T(t) : temperatura em uma determinada hora
T_o : temperatura inicial ( 3000 ºC)
t: tempo (h)

Agora que conhecemos a lei da função, podemos substituir os dados do problema:

Como o valor que estamos procurando está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação, assim temos:

Portanto, o tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de 200.

Alternativa correta: e) 1/10.

Os logaritmos da expressão possuem bases diferentes, entretanto, os logaritmandos são iguais (2016). Vamos então utilizar a fórmula da mudança de base, que para este caso pode ser escrita como:

Portanto, iremos mudar a base para 2016 e escrever o inverso da fração, ou seja:

Desta forma, a expressão ficará:

Agora que temos uma única fração e que os logaritmos possuem bases iguais, podemos juntar todos os termos em um único logaritmo.

Para isso, vamos usar as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, ou seja:

log_a M + logaN = log_a (M.N) e M.log_aN = log_aN^M

Aplicando essas propriedades, a expressão será escrita como:

Portanto, o valor de S é 1/10.

Alternativa correta: e) 1,3.

Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação para tirar as incógnitas do expoente.

log 10^x = log 20^y ⇒ x . log 10 = y . log 20

Note que 20 = 2 . 10 e ao substituir por esse produto, podemos aplicar a propriedade que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, assim a equação ficará:

x . log 10 = y . log 2 . 10 ⇒ x . log 10 = y (log 2 + log 10)

Lembrando que o log 10 = 1 e substituindo o valor indicado para o log 2:

x = y (0,3 + 1)
x/y = 1,3

Portanto, o valor de x/y é 1,3.

.

O problema nos informa que a altura h é dividida por 2. Podemos então considerar os seguintes pontos no gráfico:

Temos, então:

log a = - h/2
log b = h/2

Passando o 2 para o outro lado em ambas as equações, chegamos a seguinte situação:

- 2.log a =h e 2.log b = h

Logo, podemos dizer que:

- 2 . log a = 2 . log b

Sendo a = b + n (conforme indicado no gráfico), temos:

2 . log (b+n) = -2 . log b

Simplificando, temos:

log (b+n) = - log b
log (b+n) + log b = 0

Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, ficamos com:

log (b+n) . b = 0

Usando a definição de logaritmo e considerando que todo número elevado a zero é igual a 1, temos:

(b + n) . b = 1
b² + nb -1 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos:

Portanto, a expressão algébrica que determina a altura do vidro é .

Alternativa correta: b) 0,70.

Como cada elemento da matriz é igual ao valor do logaritmo decimal de (i+j), então:

x = log₁₀ (2+3) ⇒ x = log₁₀ 5

Não foi informado na questão o valor de log₁₀ 5, entretanto, podemos encontrar esse valor usando as propriedades dos logaritmos.

Sabemos que 10 dividido por 2 é igual a 5 e que o logaritmo de um quociente de dois números é igual a diferença entre os logaritmos desses números. Então, podemos escrever:

Na matriz, o elemento a₁₁ corresponde ao log₁₀(1+1) = log₁₀2 = 0,3. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:

log₁₀ 5 = 1 - 0,3 = 0,7

Portanto, o valor de x é igual a 0,70.

Resposta correta: a) 0,18

Primeiro aplicamos para t = 0.

Assim, a quantidade inicial de combustível no tanque era de 16 litros.

Ao final dos 20 min, houve um gasto de 2 litros, sobrando 14.

Temos que Q(20)=14

Vamos aplicar a definição de logaritmo, que diz que o logaritmando é igual a base elevada ao logaritmo.