Exercícios de Matrizes (com questões resolvidas e explicadas)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Matriz é uma tabela formada por números reais, dispostos em linhas e colunas. Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos.

Aproveite as questões de vestibulares resolvidas e comentadas para tirar todas as suas dúvidas em relação a esse conteúdo.

Questão 1

Dadas as seguintes matrizes:

$reto A igual a abre colchetes tabela linha com 2 1 4 linha com 3 0 célula com menos 1 fim da célula linha com 5 2 3 fim da tabela fecha colchetes reto B igual a abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula 3 2 linha com 4 1 0 linha com 2 célula com menos 2 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes reto C igual a abre colchetes tabela linha com 3 1 2 linha com 0 célula com menos 2 fim da célula 4 linha com célula com menos 1 fim da célula 2 3 fim da tabela fecha colchetes$

Calcule a expressão A + B - C.

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Resposta: $abre colchetes tabela linha com célula com menos 2 fim da célula 3 4 linha com 7 3 célula com menos 5 fim da célula linha com 8 célula com menos 2 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Vamos fazer passo a passo. Primeiro, somamos A+B.

$reto A mais reto B igual a abre colchetes tabela linha com célula com 2 mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 1 mais 3 fim da célula célula com 4 mais 2 fim da célula linha com célula com 3 mais 4 fim da célula célula com 0 mais 1 fim da célula célula com menos 1 mais 0 fim da célula linha com célula com 5 mais 2 fim da célula célula com 2 mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito fim da célula célula com 3 mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes reto A mais reto B igual a abre colchetes tabela linha com 1 4 6 linha com 7 1 célula com menos 1 fim da célula linha com 7 0 4 fim da tabela fecha colchetes$

Agora, subtraímos A + B da matriz C.

$abre colchetes tabela linha com 1 4 6 linha com 7 1 célula com menos 1 fim da célula linha com 7 0 4 fim da tabela fecha colchetes menos abre colchetes tabela linha com 3 1 2 linha com 0 célula com menos 2 fim da célula 4 linha com célula com menos 1 fim da célula 2 3 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com 1 menos 3 fim da célula célula com 4 menos 1 fim da célula célula com 6 menos 2 fim da célula linha com célula com 7 menos 0 fim da célula célula com 1 menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito fim da célula célula com menos 1 menos 4 fim da célula linha com célula com 7 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 0 menos 2 fim da célula célula com 4 menos 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Fechando as operações:

$abre colchetes tabela linha com célula com menos 2 fim da célula 3 4 linha com 7 3 célula com menos 5 fim da célula linha com 8 célula com menos 2 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Questão 2

Dadas as seguintes matrizes:

$reto A igual a abre colchetes tabela linha com 2 1 4 linha com 3 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

$reto B igual a abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula linha com 4 linha com 2 fim da tabela fecha colchetes$

Calcule a expressão A . B.

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Resposta: $reto A espaço. espaço reto B espaço igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com célula com menos 5 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Fazemos a multiplicação de linha por coluna, somando os resultados.

$reto A espaço. espaço reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com 2 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço mais espaço 1 espaço. espaço 4 espaço mais espaço 4 espaço. espaço 2 fim da célula linha com célula com 3 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço mais espaço 0 espaço. espaço 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço. espaço 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes reto A espaço. espaço reto B espaço igual a abre colchetes tabela linha com célula com menos 2 mais 4 mais 8 fim da célula linha com célula com menos 3 mais 0 menos 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes reto A espaço. espaço reto B espaço igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com célula com menos 5 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Questão 3

Unicamp - 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A = $abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$ satisfaz a equação A²= aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

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Para descobrir o valor do produto a.b, precisamos primeiro conhecer o valor de a e b. Sendo assim, vamos considerar a equação dada no problema.

Para resolver a equação, vamos calcular o valor de A², o que é feito multiplicando-se a matriz A por ela mesma, ou seja:

$A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$

Esta operação é feita multiplicando-se as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz, conforme esquema abaixo:

Desta forma a matriz A² é igual a:

$A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$

Considerando o valor que acabamos de encontrar e lembrando que na matriz identidade os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais 0, a equação ficará:

$abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a a. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes mais b. abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$

Temos agora que multiplicar a matriz A pelo número a e a matriz identidade pelo número b.

Lembre-se que para multiplicar um número por uma matriz, multiplicamos o número por cada elemento da matriz.

Assim, nossa igualdade ficará igual a:

$abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes mais abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes$

Somando as duas matrizes, temos:

$abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais. Desta forma, podemos escrever o seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a mais b igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 a igual a 4 fim da célula fim da tabela fecha$

Isolando o a na segunda equação:

$2 a igual a 4 seta dupla para a direita a igual a 4 sobre 2 seta dupla para a direita a igual a 2$

Substituindo o valor encontrado para o a na primeira equação, encontramos o valor do b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Assim, o produto será dado por:

a . b = - 1 . 2
a . b = - 2

Alternativa: a) −2.

Questão 4

Unesp - 2016

Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna $abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes$ , assim como a matriz coluna $abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes$ representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial $abre colchetes tabela linha com 0 célula com menos 1 fim da célula linha com 1 0 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes$ é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é

a) uma rotação de P em 180º no sentido horário, e com centro em (0, 0).
b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).
c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.
e) uma rotação de P em 90º no sentido horário, e com centro em (0, 0).

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O ponto P é representado por uma matriz, de forma que a abscissa (x) é indicada pelo elemento a₁₁ e a ordenada (y) pelo elemento a₂₁da matriz.

Para encontrar a nova posição do ponto P, devemos resolver a multiplicação das matrizes apresentadas e o resultado será:

O resultado representa a nova coordenada do ponto P, ou seja, a abcissa é igual a - y e a ordenada igual a x.

Para identificar a transformação sofrida pela posição do ponto P, vamos representar a situação no plano cartesiano, conforme indicado abaixo:

Portanto, o ponto P, que a princípio se localizava no 1º quadrante (abscissa e ordenada positivas), passou para o 2º quadrante (abscissa negativa e ordenada positiva).

Ao passar para essa nova posição, o ponto sofreu uma rotação anti-horária, conforme representado na imagem acima pela seta vermelha.

Precisamos ainda, identificar qual foi o valor do ângulo de rotação.

Ao ligar a posição original do ponto P ao centro do eixo cartesiano e fazendo o mesmo em relação a sua nova posição P´, temos a seguinte situação:

Note que os dois triângulos indicados na figura são congruentes, ou seja, possuem as mesmas medidas. Desta forma, seus ângulos também são iguais.

Além disso, os ângulos α e θ são complementares, pois como a soma dos ângulos internos de triângulos é igual a 180º e sendo o triângulo retângulo, a soma desses dois ângulos será igual a 90º.

Sendo assim, o ângulo de rotação do ponto, indicado na figura por β, só pode ser igual a 90º.

Alternativa: b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

Questão 5

Unicamp - 2017

Sendo a um número real, considere a matriz A = $abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses$ . Então, A²⁰¹⁷ é igual a

a) $abre parênteses tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha parênteses$
b) $abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses$
c) $abre parênteses tabela linha com 1 1 linha com 1 1 fim da tabela fecha parênteses$
d) $abre parênteses tabela linha com 1 célula com a à potência de 2017 fim da célula linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses$

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Primeiro, vamos tentar encontrar um padrão para as potências, visto que é muito trabalhoso multiplicar a matriz A por ela mesma 2017 vezes.

Lembrando que na multiplicação de matrizes, cada elemento é encontrado somando os resultados da multiplicação dos elementos da linha de uma pelos elementos da coluna da outra.

Vamos começar calculando A²:

$abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses espaço. espaço abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com célula com 1.1 mais a.0 fim da célula célula com espaço espaço 1. a mais a. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula linha com célula com 0.1 mais 0. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 0. a mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha parênteses$

O resultado foi a matriz identidade, sendo que quando multiplicamos uma matriz qualquer pela matriz identidade, o resultado será a própria matriz.

Sendo assim, o valor de A³ será igual a própria matriz A, pois A³ = A² . A.

Esse resultado irá se repetir, ou seja, quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade e quando for impar, será a própria matriz A.

Como 2017 é ímpar, então o resultado será igual a matriz A.

Alternativa: b) $abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses$

Questão 6

UFSM - 2011

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:

A matriz A = (a_ij)_4x4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

$a parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i menor ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha b parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i não igual j fim da célula fim da tabela fecha c parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i maior ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula fim da tabela fecha d parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i não igual j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula fim da tabela fecha e parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha$

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Sendo o número da linha indicado por i e o número da coluna indicado por j, e observando a tabela, notamos que quando i é igual a j, ou i é maior que j, o resultado é zero.

Já as posições ocupadas pelo 1 são aquelas em que o número da coluna é maior que o número da linha.

Alternativa: c) $a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i maior ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula fim da tabela fecha$

Questão 7

Unesp - 2014

Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:

a) B – I ≠ O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
b) B seja invertível.
c) B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
e) A e C sejam invertíveis.

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Para resolver a equação matricial, precisamos isolar o X em um dos lados do sinal de igual. Para isso, vamos inicialmente subtrair a matriz A em ambos os lados.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Agora, vamos subtrair o X, também em ambos os lados. Neste caso, a equação ficará:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Sendo I a matriz identidade, quando multiplicamos uma matriz pela identidade o resultado é a própria matriz.

Assim, para isolar o X devemos agora multiplicar os dois lados do sinal de igual pela matriz inversa de (B-I), ou seja:

X.(B - I).(B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Lembrando que quando uma matriz é invertível, o produto da matriz pela inversa é igual a matriz identidade.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Assim, a equação terá solução quando B - I for invertível.

Alternativa: d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.

Questão 8

Enem - 2012

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

$a parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula fim da tabela fecha colchetes b parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes c parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com 1 linha com 1 linha com 1 linha com 1 fim da tabela fecha colchetes d parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula fim da tabela fecha colchetes e parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

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A média aritmética é calculada somando-se todos os valores e dividindo-se pelo número de valores.

Assim, o aluno deverá somar as notas dos 4 bimestres e dividir o resultado por 4 ou multiplicar cada nota por 1/4 e somar todos os resultados.

Usando matrizes, podemos chegar ao mesmo resultado fazendo uma multiplicação de matriz.

Entretanto, devemos lembrar que só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas de uma é igual ao número de linhas da outra.

Como a matriz das notas têm 4 colunas, a matriz que iremos multiplicar deverá ter 4 linhas. Desta forma, devemos multiplicar pela matriz coluna:

$abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Alternativa: e

Questão 9

Fuvest - 2012

Considere a matriz $A igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a mais 1 fim da célula linha com célula com a menos 1 fim da célula célula com a mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$ , em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^-1 cuja primeira coluna é $abre colchetes tabela linha com célula com 2 a menos 1 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$ , a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

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A multiplicação de uma matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade, então, podemos representar a situação pela seguinte operação:

$abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a mais 1 fim da célula linha com célula com a menos 1 fim da célula célula com a mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço. espaço abre colchetes tabela linha com célula com 2 a menos 1 fim da célula x linha com célula com menos 1 fim da célula y fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$

Resolvendo a multiplicação da segunda linha da primeira matriz pela primeira coluna da segunda matriz, temos a seguinte equação:

(a - 1) . (2a - 1) + (a + 1) . (- 1) = 0
2a² - a - 2a + 1 + (- a) + (- 1) = 0
2a² - 4a = 0
2a (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Substituindo o valor de a na matriz, temos:

$abre colchetes tabela linha com 2 célula com 2.2 mais 1 fim da célula linha com célula com 2 menos 1 fim da célula célula com 2 mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 2 5 linha com 1 3 fim da tabela fecha colchetes$

Agora que conhecemos a matriz, vamos calcular seu determinante:

$d e t espaço A espaço igual a abre barra vertical tabela linha com 2 5 linha com 1 3 fim da tabela fecha barra vertical igual a 2.3 espaço menos 5.1 igual a 1 S e n d o vírgula espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a numerador 1 sobre denominador d e t espaço A fim da fração. abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 5 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 5 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes$

Assim, a soma da diagonal principal será igual a 5.

Alternativa: a) 5

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.