Exercícios sobre produtos notáveis (comentados e resolvidos)

Resposta:

A expressão é um produto notável chamado quadrado da soma.

Para desenvolvê-lo utilizamos a regra:

quadrado do primeiro termo mais,
duas vezes o primeiro termo vezes o segundo mais,
o quadrado do segundo termo.

Desenvolvimento:

Resposta:

A expressão é um cubo da soma. Para desenvolvê-la, utilizamos:

Cubo da primeira parcela mais,
três vezes o quadrado da primeira pela segunda mais,
três vezes a primeira vezes o quadrado da segunda mais,
o cubo da segunda parcela.

Desenvolvimento:

Resposta: -5

Esta expressão é um produto notável conhecido como diferença entre dois quadrados. Para desenvolvê-lo, utilizamos a seguinte regra:

O primeiro termo mais o segundo, multiplicado pela subtração entre o primeiro e o segundo.

Desenvolvimento:

Alternativa correta: b) 28.

Para encontrar o valor da expressão, vamos usar o quadrado da soma de dois termos, ou seja:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Como queremos encontrar o valor a a² + b², isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

a² + b² = (a + b)² - 2.a.b

Substituindo os valores dados:

a² + b² = 6² - 2.4
a² + b² = 36 - 8
a² + b² = 28

Portanto, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a² + b², que é 28.

Alternativa correta: b) 167.

Lembrando do desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, temos:

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²

Como queremos encontrar o valor a x² + y², isolaremos esses termos na expressão anterior, então temos:

x² + y² = (x + y)² - 2.x.y

Substituindo os valores dados:

x² + y² = 13² - 2.1
x² + y² = 169 - 2
x² + y² = 167

Portanto, x² + y² = 167.

Alternativa correta: b) 1.

Para resolver esse produto, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, ou seja:

(a + b) . (a - b) = a² - b²

Assim:

Portanto, o produto é igual a 1.

Alternativa correta: d) [60, 70[

Como a operação entre os termos da radiciação é uma subtração, não podemos tirar os números de dentro do radical.

Devemos primeiro resolver a potenciação, depois subtrair e tirar a raiz do resultado. A questão é que calcular essas potências não é muito rápido.

Para facilitar os cálculos, podemos aplicar o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, assim temos:

Como é pedido em qual intervalo o número está compreendido, devemos notar que o 60 aparece em duas alternativas.

Entretanto, na alternativa c o colchete após o 60 está aberto, logo, esse número não pertence ao intervalo. Já na alternativa d o colchete está fechado e indica que o número pertence a esses intervalo.

Portanto, o valor está compreendido no intervalo [60, 70[.

Alternativa correta: c) 80.

I) Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos temos:

(p + q) ² = p² + 2.p.q + q², portanto, a afirmação I é falsa

II) Pela propriedade da radiciação da multiplicação de raízes de mesmo índice, a afirmação é verdadeira.

III) Neste caso, como a operação entre os termos é uma soma, não podemos tirar da raiz. Primeiro, precisamos efetuar a potenciação, somar os resultados para depois tirar da raiz. Portanto, essa afirmação também é falsa.

IV) Como entre os termos temos uma soma, não podemos simplificar o q. Para poder fazer a simplificação, é necessário desmembrar a fração:

Assim, essa alternativa é falsa.

V) Como temos uma soma entre os denominadores, não podemos separar as frações, tendo que resolver primeiro essa soma. Logo, esta afirmação também é falsa.

VI) Escrevendo as frações com um único denominador, temos:

Como temos uma fração de fração, resolvemos repetindo a primeira, passado para multiplicação e invertendo a segunda fração, assim:

, portanto, essa afirmação é verdadeira.

Somando as alternativas corretas, temos: 20 + 60 = 80

Portanto, a opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é c) 80.

Alternativa correta: c) 4xy.

Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos, temos:

Portanto, se x e y são dois números reais positivos, então a expressão é equivalente a 4xy.

Alternativa correta: a) - 1.

Vamos começar reescrevendo a expressão e transformando os termos com expoentes negativos em frações:

Agora vamos resolver as somas das frações, reduzindo a um mesmo denominador:

Transformando a fração de fração em multiplicação:

Aplicando o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos e colocando em evidência os termos comuns:

Podemos agora simplificar a expressão, "cortando" os termos semelhantes:

Como (y - x) = - (x - y), podemos substituir esse fator na expressão acima. Assim:

Portanto, o valor da expressão é - 1.