Exercícios sobre Progressão Aritmética (com questões resolvidas)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante.
Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros conteúdos de Matemática.
Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de vestibulares.
Questão 1
O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?
Solução
O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma redução de R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá para R$ 147 500,00. No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por diante.
Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a - 2 500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o valor pedido.
Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00.
Questão 2
O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro igual a 48 cm e área igual a 96 cm2. Quais são as medidas de x, y e z, se, nesta ordem, formam uma PA?
Solução
Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o seguinte sistema de equações:
Mas, como os lados formam uma PA, então:
x = y - r
z = y + r
Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:
Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores nas expressões de x e z:
x = 16 – 4 = 12
z = 16 + 4 = 20
Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.
Questão 3
Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda hora de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na hora seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?
Solução
Para calcular o total de quilômetros percorridos em 6 horas, precisamos somar os quilômetros percorridos em cada hora.
A partir dos valores informados, é possível notar que a sequência indicada é uma PA, pois a cada hora ocorre uma redução de 2 quilômetros (13-15 = - 2).
Portanto, podemos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o valor pedido, ou seja:
Sabemos que o primeiro termo da PA é 15, que sua razão é igual a - 2 e que o número de termos é igual a 6. Assim, para calcular a soma de todos os termos, falta apenas encontrar o valor de a6 que encontramos fazendo:
Agora que conhecemos o valor de a6, basta substituir todos os valores na fórmula da soma para encontrar o seu valor:
Assim, ao final de 6 horas, o ciclista percorreu 60 km.
Questão 4
Enem - 2016
Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?
a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120
Os andares trabalhados por João formam uma PA, cuja a razão é igual a 2. Já os andares que Pedro trabalhou formam uma PA de razão igual a 3.
Contudo, temos a informação que em exatamente 20 andares tanto João quanto Pedro trabalharam juntos. Desta maneira, vamos tentar encontrar alguma relação entre esses andares.
Para isso, vamos analisar as duas progressões dadas. No esquema abaixo, marcamos com círculos vermelhos os andares em que ambos trabalharam.
Note que esses andares formam uma nova PA (1, 7, 13, ...), cuja razão é igual a 6 e que possui 20 termos, conforme indicado no enunciado do problema.
Sabemos ainda, que o último andar do prédio faz parte dessa PA, pois o problema informa que eles trabalharam juntos também no último andar. Assim, podemos escrever:
Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:
os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:
a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000
Observando a tabela, notamos que a sequência forma uma PA, cujo primeiro termo é igual a 500 e a razão é igual a 500.
Como o jogador recebeu 13 cartões e que só a partir do 3º cartão é que passa a pagar, então, a PA terá 11 termos (13 -2 = 11). Vamos então calcular o valor do último termo dessa PA:
Agora que já sabemos o valor do último termo, podemos encontrar a soma de todos os termos da PA:
Alternativa: b) 33.000
Questão 6
Enem - 2013
As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.
Com os dados da tabela, identificamos que a sequência forma uma PA, com o primeiro termo igual a 50,25 e a razão igual a 1,25. No período de 2012 a 2021 temos 10 anos, portanto, a PA terá 10 termos.
Para encontrar a quantidade total de arroz, vamos calcular a soma dessa PA:
Alternativa: d) 558,75.
Questão 7
Unicamp - 2015
Se (a1, a2,..., a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
As únicas informações que temos é que a PA apresenta 13 termos e que a soma dos termos é igual a 78, ou seja:
Como não conhecemos o valor de a1, de a13, nem o valor da razão, não conseguimos, a princípio, encontrar esses valores.
Entretanto, observamos que o valor que queremos calcular (a7) é o termo central da PA.
Com isso, podemos usar a propriedade que diz que o termo central é igual a média aritmética dos extremos, então:
Substituindo essa relação na fórmula da soma:
Alternativa: a) 6
Questão 8
Fuvest - 2012
Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)
a) Sendo a2 o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a1 e a3, ou seja:
Portanto x = 5 ou x = 1/2
b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.
Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:
Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a1 e a100. Calculando esses valores, temos:
Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:
Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.
Questão 9
BB – Cesgranrio
Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010?
(A) 612,5
(B) 621,3
(C) 632,3
(D) 658,5
(E) 684,1
Como o aumento foi de 2006 para 2009, podemos considerar o valor em 2006, que era de 528,7 bilhões como sendo o a1 (primeiro termo da PA) e, a4 igual a 606,4 bilhões em 2009.
Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão.
a4 = a1 + (4-1)r
a4 - a1 = 3r
606,4 - 528,7 = 3r
77,7 = 3r
r = 77,7/3
r = 25,9
Sendo assim, o quinto termo dessa PA é a4 + r = 632,3 bilhões.
A resposta é a letra c.
Questão 10
AFA
Em um pentágono, os ângulos internos estão em Progressão Aritmética. Qual o terceiro termo, em graus, dessa progressão?
a) 54
b) 108
c) 162
d) 216
A soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540°. Nessa progressão há 5 termos, assim, o enésimo (último) termo é o a5.
Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita:
Nesta PA, temos: a1, a2, a3, a4, a5
Como a3 é o termo do meio, ele é a média aritmética dos seus extremos.
a3 = 108°
alternativa b
Questão 11
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Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
