A progressão geométrica (PG) representa uma sequência numérica onde a divisão entre dois números consecutivos resulta sempre em um valor constante. Esse valor é chamado de razão da PG.
Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros assuntos de Matemática.
Portanto, aproveite as resoluções dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas sobre PG.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Calcule o oitavo termo da PG (3, 6, 12, …).
Para o cálculo da razão:
Temos que a3 = 12
Usando a fórmula do termo geral:
Exercício 2
Calcule a razão de uma PG, sabendo que a5=64 e a1=4 e escreva a PG.
Lembre-se que essa raiz admite as duas soluções, -2 ou 2.
Com q=2 a PG fica assim: (4, 8, 16, 32, 64)
Com q=-2 a PG fica assim: (4, -8, 16, -32, 64)
Exercício 3
Determine o número de termos de uma PG, onde, .
Substituindo os valores na fórmula do termo geral:
Neste ponto, devemos fatorar o 128
Agora, temos uma equação exponencial com as bases iguais.
Assim,
7 = n -1
n = 8
Exercício 4
Sendo x - 3, x ,x + 6 três termos consecutivos de uma PG, calcule o valor de x e escreva a PG.
Como os termos são consecutivos, o termo do meio é a média geométrica dos extremos.
Substituindo na sequência x-3, x ,x + 6
6-3, 6, 6+6
PG (3, 6, 12)
Questões de vestibulares resolvidas
Questão 1
UFRGS - 2018
Considere a função real f definida por f (x) = 2 - x . O valor da expressão S = f (0) + f (1) + f (2) +...+ f (100) é
a) S = 2 - 2-101 .
b) S = 250 + 2-50.
c) S = 2 + 2-101 .
d) S = 2 + 2-100 .
e) S = 2 - 2-100 .
Considerando a lei de formação da função, podemos calcular alguns valores das funções. Assim, temos:
Observamos que esses valores formam uma PG de quociente igual a . Portanto, para encontrar o valor de S podemos utilizar a fórmula da soma finita de uma PG , ou seja:
O número de termos da PG será igual a 101, pois queremos somar os resultados das funções partindo de x=0 até x=100. Substituindo os valores na fórmula, temos:
Alternativa: e) S = 2 - 2-100
Questão 2
PUC/RJ - 2017
Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica.
Assinale o valor de S.
a) 4092
b) 4100
c) 8192
d) 65536
e) 196883
Para encontrar o valor, aplicaremos a fórmula da soma finita dos termos de uma PG, ou seja:
Identificamos que a1 = 4 e q = 2. Entretanto, precisamos descobrir o valor de n, ou seja, quantos termos formam essa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral da PG:
an = a1.qn - 1
Agora que já temos todos os valores necessários, vamos calcular a soma:
Alternativa: a) 4092
Questão 4
PUC/SP - 2017
Considere a progressão aritmética (3, a2 , a3 ,...) crescente, de razão r, e a progressão geométrica ( b1 , b2 , b3 , 3,...) decrescente, de razão q, de modo que a3 = b3 e r = 3q. O valor de b2 é igual a
a) a6
b) a7
c) a8
d) a9
Vamos aplicar a fórmula do termo geral da PG, para encontrar a expressão do 3º termo, partindo do valor do 4º termo (b4 = 3):
Pela fórmula do termo geral da PA podemos encontrar a expressão de a3. Sendo a3 = a1+(n - 1) r , então temos que a3 = 3 + 2r. Considerando essa expressão e que a3 = b3, encontramos:
O enunciado da questão indica que r = 3q. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:
Podemos simplificar a equação do 2º grau, dividindo por 2. Assim, vamos calcular as raízes da equação 2q2 + q - 1 = 0. Para isso, usaremos a fórmula de Bhaskara:
Iremos desconsiderar o valor de q = -1, pois quando a razão é negativa, a PG é alternante, o que não é o caso.
Agora que conhecemos o valor da razão da PG, podemos também calcular o valor da razão da PA fazendo:
Com os valores das razões, vamos calcular o valor de b2. Assim, temos:
Para encontrar o termo da PA, que é igual a b2, devemos fazer:
Assim, o termo a7 é igual ao termo b2.
Alternativa: b) a7
Questão 4
Fuvest - 2015
Dadas as sequências ܽdefinidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
I. ܽané uma progressão geométrica;
II. ܾbn é uma progressão geométrica;
III. ܿcné uma progressão aritmética;
IV. ݀dn é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
Sendo os valores de n inteiros e positivos, podemos encontrar os primeiros termos de cada sequência e assim verificar quais afirmações são verdadeiras.
Como 16:9 = 1,7 e 25:16 = 1,5 são valores diferentes, então essa sequência não é uma PG. Logo, este item é falso.
II. é uma progressão geométrica.
Sendo 16:2 = 8 e 32:16 = 2 valores diferentes, temos que essa sequência também não é uma PG. Desta forma, este item é falso.
III. cn = an+1 - an é uma progressão aritmética
Note que para encontrar os valores desta sequência, basta diminuir os termos consecutivos da primeira sequência. Assim, temos:
c1 = 16 - 9 = 7
c2 = 25 -16 = 9
c3 = 36 -25 = 11
Como 9 - 7 = 2 e 11 -9 = 2, temos uma PA de razão igual a 2. Portanto, a afirmação é verdadeira.
IV. é uma progressão geométrica
Para encontrar o valor dessa sequência, basta dividir valores consecutivos da segunda sequência. Desta forma:
Dividindo 32 por 8 e 126 por 32 encontramos o mesmo valor. Sendo assim, essa sequência é uma PG de razão igual a 8. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Alternativa: e) III e IV
Questão 5
Fuvest - 2008
Sabe-se sobre a progressão geométrica a1 , a2 , a3 , ... que a1 > 0 e . Além disso, a progressão geométrica a1 , a5 , a9 ,... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2 a7 vale
Para resolver a questão é importante notar que temos a indicação de duas progressões geométricas. Chamaremos a razão da primeira PG de q1 e o da segunda de q2.
Sendo que q2 = 9 e como a1 é positivo e a6 é negativo, a razão q1 deverá ser negativa. Considerando essas duas progressões, temos as seguintes relações:
a6 = a5 . q1
a5 = a1 . q2
Substituindo os valores e igualando os valores de a5 , temos:
Podemos encontrar o valor de a2 fazendo:
Agora que conhecemos o valor de a2 podemos escrever a6 utilizando esse valor para encontrar a razão q1:
Sendo q1 negativo, seu valor será igual a:
Finalmente, vamos achar o valor de a7 fazendo:
Então o valor de a2 multiplicado por a7 será igual a:
Alternativa: a) -27
Questão 6
Unicamp - 2016
Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com . Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5
Aplicando a definição de progressão geométrica temos que b = a.q e c = a.q2, sendo q igual a razão da PG. Sendo assim, a divisão s/a será igual a:
Colocando o a em evidência e simplificando a expressão, temos:
Note que s/a é igual a uma equação do 2º grau, sendo o seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do q2 é positivo (+1).
Desta forma, o valor mínimo da divisão acontecerá no vértice da parábola. Portanto, para encontrar esse valor iremos utilizar a fórmula do y do vértice, ou seja:
Alternativa: c)
Questão 7
Unesp - 2012
O artigo "Uma estrada, muitas florestas" relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.
(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)
Espécie da árvore fumo-bravo - (w3.ufsm.br/herbarioflorestal)
Considerando que a referida árvore foi plantada em 1.º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de
a) 0,5.
b) 5 × 10 -1/2 .
c) 5.
d) 5 × 10 1/2.
e) 50.
Primeiro, devemos transformar para a mesma unidade de medida. Para isso, vamos passar 1 dm para metro. Então, quando foi planta a sua altura era igual a 0,1 m.
Como o valor das alturas formam uma progressão geométrica, podemos escrever que a1 = 0,1, a2 = 0,1 . q e a3 = 0,1 . q2.
Entretanto, sabemos que no final do período a altura da árvore era de 2,5 m, substituindo esse valor encontramos:
Sendo a progressão crescente, então q = 5.
Alternativa: c) 5
Questão 8
UERJ - 2014
Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. Para isso, basta multiplicar as dimensões dadas, ou seja:
VP = 40 . 25 . 20 = 20 000 cm3
Com o número de esferas depositada em cada etapa dobra, temos a PG (1, 2, 4, 8,..., an), sendo a razão desta PG igual a dois e n o número de etapas.
A soma dessa PG será igual ao número total de esferas depositadas. Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula da soma de uma PG finita. Considerando q=2, temos:
Para encontrar o volume total das esferas, basta multiplicar o valor encontrado por 0,5 cm3, que é o volume de uma esfera.
Como queremos descobrir quantas etapas são necessárias para que este volume seja maior que o volume do paralelepípedo, escreveremos a seguinte inequação:
Se 2n > 40 001, então também será maior que 40 000. Portanto, podemos escrever e resolver a inequação:
2n > 40 000
2n> 40 . 1000
2n>40 . 210
Como não conseguimos escrever 40 na base 2, vamos substituir pelo 32, que é a potência de base 2 mais próxima.
2n > 32 . 210
2n > 25.210
2n > 2 5 + 10
Como as bases são iguais, a inequação pode ser escrita como:
n > 15
Temos então que o menor número de etapas deverá ser igual a 16, que é o primeiro número inteiro maior que 15.
Alternativa: b) 16
Questão 9
UERJ - 2012
Uma das consequências do acidente nuclear ocorrido no Japão em março de 2011 foi o vazamento de isótopos radioativos que podem aumentar a incidência de certos tumores glandulares. Para minimizar essa probabilidade, foram prescritas pastilhas de iodeto de potássio à população mais atingida pela radiação.
A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
Considere uma amostra de 53I133, produzido no acidente nuclear, com massa igual a 2 g e meia-vida de 20 h.
Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:
a) 62,5
b) 125
c) 250
d) 500
De acordo com as informações da questão, a cada 20 h a massa do radioisótopo se reduz a metade. Desta forma, a redução da massa irá ocorrer seguindo uma PG de razão igual a e a1= 2 g (massa inicial quando t=0).
A massa do radioisótopo, após 100 h, será igual ao sexto termo (a6) dessa PG, pois temos 5 intervalos de 20 h até chegar a 100 h.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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. Portanto, para encontrar o valor de S podemos utilizar a fórmula da soma finita de uma PG , ou seja:
definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
é uma progressão geométrica.
é uma progressão geométrica
. Além disso, a progressão geométrica a1 , a5 , a9 ,... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2 a7 vale
. Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a
