Questões para Olimpíada de Matemática Nível 3 (Ensino Médio)

Para resolver, divida o custo proporcionalmente aos quilômetros que cada um percorreu:

• Alice percorreu 10 km (1/3 da distância).
• Bob percorreu 20 km (também 2/3 da distância).
• Carlos percorreu 30 km (3/3 da distância).

Assim, Bob deve pagar o dobro de Alice e, Carlos, o triplo de Alice.

• 1 parte para Alice;
• 2 partes para Bob;
• 3 partes para Carlos.

Um total de seis partes. Assim, vamos dividir o total por 6:

48 / 6 = 8

Cada parte é igual a R$ 8,00. Logo:

• Alice: 1 parte = R$ 8,00.
• Bob: 2 partes = R$ 16,00.
• Carlos: 3 partes = R$ 24,00.

Conferindo o total:

8 + 16 + 24 = 48

1. Visualização:

Círculo: desenhe um círculo em um papel e marque os pontos P e Q em qualquer lugar da circunferência.

Triângulo: marque um ponto X e conecte os pontos P, Q e X com linhas retas. Você formará um triângulo.

Condição: para que o triângulo "envolva" o centro C, o ponto X precisa estar em determinados pontos da circunferência.

Por exemplo:

Alinhando Q, C e X, chamando X de Qʼ, no outro extremo, alinhando P, C e X, chamando X de Pʼ, temos:

Veja que X pode ser qualquer ponto do arco , ou seja: .

2. Analisando a probabilidade:

A probabilidade é calculada como a razão entre os casos favoráveis pelos casos totais.

Os casos favoráveis são todos os pontos X que pertencem ao arco PʼQʼ.

Os casos totais são os pontos da circunferência. O comprimento da circunferência é dado por:

Onde r é o raio da circunferência.

Substituindo na fórmula da probabilidade:

Logo, a probabilidade é máxima quando o arco PʼQʼ é máximo.

3. Arco PʼQʼ máximo:

O comprimento do arco PʼQʼ é igual ao comprimento do arco PQ. Veja que o ângulo central é o ângulo que determina os arcos. Pela propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, temos que PCQ = PʼCQʼ.

Portanto, qual é a situação em que os pontos P e Q estão mais afastados? A resposta é que estão mais afastados quando estão a meia circunferência um do outro.

No exato ponto que o arco PʼQʼ = 180º, ou seja, , os três pontos Pʼ, C e Qʼ são colineares e, portanto, não formam um triângulo.

Vamos considerar o ponto exatamente anterior a 180º.

4. Cálculo da probabilidade:

Substituindo o valor do arco máximo na fórmula da probabilidade:

Resposta correta: c) 50%

A alternativa d) é a correta.

Ela expressa de forma clara e concisa a ideia de que a área do retângulo pode ser representada por uma função quadrática que o ponto máximo dessa função corresponde ao caso em que o retângulo é um quadrado.

Demonstração:

Seja "P" o perímetro fixo do retângulo:

P = 2x + 2y, onde x e y são as medidas dos lados do retângulo.

A área do retângulo é dada por:

A = x * y

Isolando y na equação do perímetro:

y = (P - 2x) / 2

Substituindo y na equação da área:

A = x * (P - 2x) / 2

A = (Px - 2x²) / 2

ou

Analisando a função quadrática:

A função representa uma parábola com concavidade para baixo.

O ponto máximo dessa parábola representa a maior área possível.

O vértice da parábola corresponde ao valor de x que maximiza a função.

Calculando o vértice da parábola:

O vértice de uma parábola da forma y = ax² + bx + c ocorre em x = -b/2a.

No nosso caso, a = -1, b = P/2.

Logo,

Substituindo x por P/4 na equação do perímetro, encontramos y = P/4.

Conclusão:

O valor de x que maximiza a área é P/4.

O valor de y também é P/4.

Portanto, para obter a maior área, x e y devem ser iguais, ou seja, o retângulo é um quadrado.

OUTRA PROVA MATEMÁTICA

Seja P o perímetro do retângulo e b e h sua base e altura respectivamente. Logo, sua área A é definida por:

A = b . h

O perímetro é definido como:

P = 2b + 2h.

Área do quadrado em função do perímetro (P):

Como o quadrado possui quatro lados iguais, em relação ao perímetro P, cada um de seus lados (L) é:

Assim, a área do quadrado em função do perímetro é:

Como o retângulo é um quadrado deformado em d unidades para mais e para menos em relação a sua base e altura:

Neste ponto, podemos utilizar o produto notável: produto da soma pela diferença resultando em uma diferença de dois quadrados.

Comparação entre a área do quadrado e do retângulo:

Conclusão:

Com a desigualdade acima, vemos claramente que a área do retângulo é sempre menor que a área do quadrado, assumindo que ambos possuem o mesmo perímetro.

Outras alternativas:

a): Não há relação entre a área ser um número perfeito e ser máxima.

b): Embora a igualdade dos lados seja uma característica do quadrado, essa afirmação por si só não justifica a maximização da área.

c): A diagonal não é diretamente relacionada à área máxima.

e): Essa afirmação é verdadeira, mas não explica por que o quadrado maximiza a área.

Analisando a primeira pista:

"Carlos chegou depois de Bruno, mas antes de Guilherme."

Isso indica que a ordem entre esses três amigos é:

Bruno chegou antes de Carlos, e Carlos chegou antes de Guilherme.

A ordem parcial que temos até agora é: Bruno → Carlos → Guilherme

Analisando a segunda pista:

"Felipe, Guilherme e Igor chegaram um após o outro, nessa ordem."

Isso significa que:

Felipe chegou imediatamente antes de Guilherme e Guilherme chegou imediatamente antes de Igor.

A sequência completa desses três amigos é, então: Felipe → Guilherme → Igor

Uma opção seria:

Bruno → Felipe → Carlos → Guilherme → Igor

Esta opção satisfaz a pista 1(Bruno → Carlos → Guilherme), mas viola a pista 2, que afirma que Felipe → Guilherme → Igor chegaram nesta ordem.

Assim, a única opção possível é:

Bruno → Carlos → Felipe → Guilherme → Igor

Conclusão:

Bruno foi o primeiro a chegar.

Sendo um retângulo, a área original da folha é:

Onde, L é a largura e H é a altura.

Os triângulos DCK (a parte sobreposta) e DKC (parte "vazia") são iguais. Eles representam a porção da folha que foi dobrada, portanto, iguais.

Logo, a área dos triângulos ACD + CBK é iguai a área total original (LH) menos duas vezes DCK.

A fórmula da área de um triângulo é:

No triângulo DKC a base é o próprio lado L, enquanto a altura é x. Logo:

Para o cálculo do percentual:

Devemos nos perguntar: qual número p (percentual) devemos multiplicar a área original para resultar em ACD + CBK?

Chamaremos este número pensado por Ana de x. Após todas as operações, o resultado foi 5.

A estratégia que utilizaremos para determinar o número pensado por Ana é realizar as operações inversas, de "traz para frente".

A quinta operação foi a radiciação, por isso, utilizaremos a potenciação. Como o resultado foi 5, faremos 5².

5² = 25

A quarta operação foi a subtração, por isso, faremos adição. Coma ela havia subtraído 6, agora, somamos 6.

25 + 6 = 31

A terceira operação foi a divisão, desta forma, faremos a multiplicação. Como ela dividiu por 2, multiplicaremos por 2.

31 x 2 = 62

A segunda operação foi a soma, de modo que faremos uma subtração.

62 - 8 = 54

A primeira operação foi a multiplicação, por isso, faremos divisão. Como Ana havia multiplicado por 3, faremos a divisão por 3.

54 / 3 = 18

Conclusão:

O número pensado por Ana foi 18, logo, a soma dos algarismos é 9.

1 + 8 = 9