A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.
Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.
Questão 1
Fatore o radicando de e encontre o resultado da raiz.
Resposta correta: 12.
1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24
Portanto,
3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada
Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Questão 2
Qual o valor de x na igualdade ?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
Resposta correta: c) 8.
Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação .
Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8.
Questão 3
Simplifique o radical .
Resposta correta: .
Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.
Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão.
Questão 4
Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:
a)
b)
c)
d)
Resposta correta:
a) pode ser escrito como
Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5
Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: .
Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12
Portanto, o índice dos radicais deve ser 12.
Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade .
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6
Qual o resultado da expressão ?
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: d) .
Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Questão 7
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: .
Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: .
Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.
Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado .
Questão 8
Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm.
O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R.
R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm.
Questão 9
Sendo e determine o valor de .
Resposta:
Substituindo os valores de a e b na equação, temos:
Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.
Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação.
Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:
Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10
Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta:
No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz.
Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
Questão 11
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:
I.
II.
III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.
Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.
I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.
Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.
Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.
Neste caso, a afirmação é falsa.
III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.
Questão 12
(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é
a)
b)
c) 3
d) 0
Alternativa correta: c) 3.
Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Assim, temos:
Questão 13
(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é:
a) 1
b) 2
c) 6
d) 36
Alternativa correta: b) 2
Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:
Questão 14
(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração
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Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
e encontre o resultado da raiz.
podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
?
.
.
.
, simplificamos a expressão.
; 
e 
de forma que os três apresentem o mesmo índice.
.
.
?
, podemos resolver a expressão da seguinte forma:
.
.
.
o primeiro passo é calcular o fator.
cm³.
e 
determine o valor de 
.
ao invés de 
. Isto irá ajudar a simplificação.
, obtém-se um número múltiplo de 2.
, então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é
, então o valor de A2 é:
é proporcional à fração 
