Semelhança de Triângulos: exercícios comentados e resolvidos
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
A semelhança de triângulos é usada para encontrar a medida desconhecida de um triângulo, conhecendo as medidas de um outro triângulo.
Quando dois triângulos são semelhantes, as medidas dos seus lados correspondentes são proporcionais. Esta relação é usada para resolver muitos problemas de geometria.
Portanto, aproveite os exercícios comentados e resolvidos para tirar todas as suas dúvidas.
Questão 1
(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Observe a figura abaixo:
Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar.
Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais).
Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção:
Alternativa: a) 27 m
Questão 2
(Fuvest - 2017) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado e N o ponto médio do lado . Os segmentos interceptam o segmento nos pontos E e F, respectivamente.
A área do triângulo AEF é igual a
A área do triângulo AEF pode ser encontrada diminuindo a área do triângulo ABE da área do triângulo AFB, conforme figura abaixo:
Vamos começar encontrando a área do triângulo AFB. Para isso, precisamos descobrir o valor da altura deste triângulo, pois o valor da base é conhecido (AB = 4).
Note que os triângulos AFB e CFN são semelhantes pois possuem dois ângulos iguais (caso AA), conforme indicado na figura abaixo:
Vamos traçar a altura H1, relativa ao lado AB, no triângulo AFB. Como a medida do lado CB é igual a 2, podemos considerar que a altura relativa do lado NC no triângulo FNC é igual a 2 - H1.
Podemos então, escrever a seguinte proporção:
Conhecendo a altura do triângulo, podemos calcular sua área:
Para encontrar a área do triângulo ABE, também será necessário calcular o valor da sua altura. Para isso, usaremos o fato dos triângulos ABM e AOE, indicados na figura abaixo, serem semelhantes.
Além disso, o triângulo OEB é um triângulo retângulo e os outros dois ângulos são iguais (45º), logo é um triângulo isósceles. Desta forma, os dois catetos deste triângulo valem H2, conforme imagem abaixo:
Desta forma, o lado AO, do triângulo AOE, é igual a 4 - H2. Com base nessas informações, podemos indicar a seguinte proporção:
Sabendo o valor da altura, agora podemos calcular a área do triângulo ABE:
Assim, a área do triângulo AFE será igual a:
Alternativa: d)
Questão 3
(Cefet/MG - 2015) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta.
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Os triângulos, assinalados em vermelho na imagem abaixo, são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais (ângulo igual a α e ângulo igual a 90º).
Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Alternativa: a) 67
Questão 4
(Colégio Militar/RJ - 2015) Em um triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC e são tais que DE / / BC . Se F é um ponto de AB tal que EF / / CD e as medidas de AF e FD e são, respectivamente, 4 e 6, a medida do segmento DB é:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Podemos representar o triângulo ABC, conforme figura abaixo:
Sendo o segmento DE paralelo a BC, então os triângulos ADE e ABC são semelhantes, pois seus ângulos são congruentes.
Podemos então escrever a seguinte proporção:
Os triângulos FED e DBC também são semelhantes, visto que os segmentos FE e DC são paralelos. Assim, a seguinte proporção também é verdadeira:
Isolando o y nessa proporção, temos:
Substituindo o valor do y na primeira igualdade:
Alternativa: a) 15
Questão 5
(Epcar - 2016) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é
Para descobrir a razão entre os perímetros, precisamos conhecer o valor de todos os lados da figura I e da figura II.
Observe que a mediatriz da hipotenusa divide o lado BC em dois segmentos congruentes, então os segmentos CM e MB medem 50 m.
Sendo o triângulo ABC retângulo, podemos calcular o lado AC, através do teorema de Pitágoras. Entretanto, note que esse triângulo é um triângulo pitagórico.
Desta forma, sendo a hipotenusa igual a 100 (5 . 20) e um dois catetos igual a 80 (4.20), então o outro cateto só poderá ser igual a 60 (3.20).
Identificamos ainda, que os triângulos ABC e MBP são semelhantes (caso AA), pois possuem um ângulo comum e o outro igual a 90º.
Assim, para encontrar o valor de x podemos escrever a seguinte proporção:
O valor de z pode ser encontrado considerando a proporção:
Podemos ainda, encontrar o valor de y fazendo:
Agora que conhecemos todos os lados, podemos calcular os perímetros.
Perímetro da figura I:
Perímetro da figura II:
Portanto, a razão entre os perímetros será igual a:
Alternativa: d)
Questão 6
(Enem - 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m
Para resolver o problema, vamos chamar a altura da haste de z e as medidas dos segmentos AF e FB de x e y, respectivamente, conforme imagem abaixo:
O triângulo ADB é semelhante ao triângulo AEF, pois ambos possuem um ângulo igual a 90º e um ângulo comum, logo, são semelhantes pelo caso AA.
Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Multiplicando "em cruz", ficamos com a igualdade:
6x = h (x + y) (I)
Por outro lado, os triângulos ACB e FEB também serão semelhantes, pelas mesmas razões apresentadas anteriormente. Temos então a proporção:
Resolvendo da mesma maneira:
4y = h (x + y) (II)
Note que as equações (I) e (II) apresentam a mesma expressão após o sinal de igual, logo, podemos dizer que:
6x = 4y
Substituindo o valor de x na segunda equação:
Alternativa: c) 2,4 m
Questão 7
(Fuvest - 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto , o ponto E pertencente ao cateto e o ponto F pertence à hipotenusa , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se , então a área do paralelogramo DECF vale
A área do paralelogramo é encontrada multiplicando-se o valor da base pela altura. Vamos chamar de h a altura e de x a medida da base, conforme figura abaixo:
Sendo DECF um paralelogramo, seus lados são paralelos dois a dois. Desta forma, os lados AC e DE são paralelos. Assim, os ângulos são iguais.
Podemos então, identificar que os triângulos ABC e DBE são semelhantes (caso AA). Temos ainda que a hipotenusa do triângulo ABC é igual a 5 (triângulo 3,4 e 5).
Desta forma, vamos escrever a seguinte proporção:
Para encontrar a medida x da base, iremos considerar a seguinte proporção:
Calculando a área do paralelogramo, temos:
Alternativa: a)
Questão 8
(Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
Resposta: d) 5,6 metros.
A situação pode ser esboçada assim:
O teorema fundamental da semelhança de triângulos diz que:
Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que intersecta os outros dois lados em pontos diferentes determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao inicial.
Podemos escrever uma proporção com as razões de lados semelhantes.
Isolando o x na equação:
Dessa forma, faltam 5,60 metros para terminar a rampa.
Questão 9
(PM-PR 2014) Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente
a) 1,15 m.
b) 1,40 m.
c) 1,80 m.
d) 2,08 m.
e) 2,91 m.
Resposta: a) 1,15 m.
As escadas formam com as paredes dois triângulos retângulos. Podemos determinar suas alturas utilizando o teorema de Pitágoras.
Chamando de y a altura do lado esquerdo.
Chamando de z a altura do lado direito.
Os triângulos destacados são semelhantes, pois possuem um par de ângulos opostos pelo vértice. Também, como as paredes são retas paralelas, eles determinar ângulos congruentes.
Podemos traçar as alturas dos triângulos, com as seguintes medidas:
Chamando de x a altura do triângulo verde, a altura do triângulo vermelho é 2,4 - x.
Podemos montar uma proporção entre lados correspondentes dos triângulos.
Isolando e calculando o valor de x, temos:
Utilizaremos agora o triângulo com a altura na parede direita, destacado em azul.
Escrevemos a seguinte proporção e resolvemos h:
Portanto, a altura h é de 1,15 m.
Questão 10
(UERJ 2014) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total.
Considere as seguintes informações:
• as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo;
• para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas horas a mais do que B1;
• no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual a 75%.
Observe o gráfico:
O valor de t, em horas, equivale a:
a)1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Resposta: d) 4.
Usamos duas semelhanças de triângulos.
Escrevemos a proporção entre os triângulos maior e menor, que são semelhantes.
Para o triângulo formado pela linha azul, temos:
Escrevemos a proporção:
Podemos igualar as duas expressões para z encontradas.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
ASTH, Rafael. Semelhança de Triângulos: exercícios comentados e resolvidos.Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos-exercicios/. Acesso em:
e N o ponto médio do lado 
. Os segmentos 
interceptam o segmento 
nos pontos E e F, respectivamente.
m
, o ponto E pertencente ao cateto 
, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se 
, então a área do paralelogramo DECF vale
são iguais.
