Transformações geométricas: translação, rotação e reflexão

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Transformações geométricas são mudanças realizadas em imagens, como: transportar, espelhar, girar, ampliar ou reduzir. Podem ser feitas em qualquer figura, sejam formas geométricas simples ou imagens complexas.

Estas transformações nos permitem criar novas figuras a partir das originais ou alterar sua posição. Para realizar estas transformações precisamos utilizar um sistema de referência e uma unidade de medida padrão, como no plano cartesiano.

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas em um plano, onde cada ponto possui um único endereço. Ele é composto por dois eixos numerados, o x e o y. Assim, um par (x, y) fornece a localização exata deste ponto.

Ao conservar as formas, ou seja, mantendo os comprimentos e os ângulos, podemos realizar três transformações geométricas: translação, rotação e reflexão.

Por exemplo, ao mover uma imagem para um novo local, estaremos realizando uma translação. Se a girarmos em torno de um ponto, será uma rotação. Se refletirmos a figura em relação a um eixo, estaremos fazendo uma reflexão.

Translação

A translação consiste em mover uma figura de um ponto a outro no plano, mantendo sua forma, orientação e tamanho.

Exemplo
Os dois triângulos da imagem abaixo são congruentes, ou seja, iguais. Podemos dizer que o triângulo ABC se moveu para a segunda posição, representada pelo triângulo A'B'C'.

Reflexão

A reflexão consiste em espelhar uma imagem em relação a uma reta, que pode ser horizontal, vertical ou inclinada. Esta reta é chamada de eixo de reflexão.

Na reflexão, as coordenadas de cada ponto da figura original são invertidos em relação ao eixo de reflexão.

Exemplo
Na reflexão em relação ao eixo x abaixo, as coordenadas dos pontos A, B e C, passaram para A', B' e C', assim:

A (-5, 3) ► A' (-5, -3)

B (-6, 1) ► B' (-6, -1)

C (-2, 2) ► C' (-2, -2)

Em outros termos, cada ponto A, B e C, está a mesma distância do eixo x, de reflexão, que estão os pontos A', B' e C'.

Rotação

A rotação de uma imagem consiste em girá-la em relação a um ponto no plano, chamado de centro de rotação. Para realizar a rotação de uma figura, devemos considerar a orientação do giro (sentido horário ou anti-horário), e a medida, em graus, do ângulo de rotação.

Exemplo
O triângulo ABC sofreu um giro no sentido anti-horário de um ângulo de rotação de 45°. O centro de rotação é o ponto A, que por isto, permanece fixo.

Transformações geométricas de redução e ampliação

Na redução ou ampliação, as dimensões da imagem são aumentadas ou diminuídas, mantendo a proporção.

Nestes casos, os ângulos permanecem os mesmos, mas os comprimentos e larguras aumentam ou diminuem. Por isto, a forma da imagem é mantida, enquanto sua área é alterada.

Exemplo

Exercícios sobre transformações geométricas

Exercício 1

O quadrilátero ABCD a seguir, transladou quais medidas nas direções x e y, até a posição A'B'C'D'?

Exercício 2

Faça um esboço da reflexão do pentágono em relação à reta vertical.

Exercício 3

O triângulo retângulo a seguir sofreu uma rotação com centro de rotação no ponto B. Responda o sentido do giro e a medida do ângulo de rotação.

Veja também:

• Geometria
• Simetria: tipos, definição e atividades para imprimir
• Geometria Plana
• Formas Geométricas
• Polígonos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.